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nbwhjf000新蟲 (小有名氣)
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看了“無窮個無窮小乘積為什么不是無窮�。俊钡奶雍� 已有11人參與
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原帖15樓給出了一個反例，迷惑了很多人，但是這個反例實際上是錯誤的。 第一個因子：a1= 1×1/2 ×1/3 ×1/4× 1/5×1/6×… 第二個因子：a2= 1×2^1 ×1/3 ×1/4× 1/5×1/6×... 第三個因子：a3= 1×1 ×3^2 ×1/4× 1/5×1/6×... 第四個因子：a4= 1×1 ×1 ×4^3× 1/5×1/6×... ...... 第m個因子：am= 1×1 ×1 ×1 ×1 ×1 ×...× m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×... 當m為有限值時，這些因子都是無窮小量。 這些因子的乘積是 1×1×1×1×1×1×1×...... 表面上看起來沒什么問題，但實際上我們來看，這些因子的乘積究竟是什么？ a1 × a2 × a3 × a4 ×...× am =1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × 1/(m+1)^m × 1/(m+2)^m × 1/(m+3)^m × ...... = 1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^m = 1×1×1×1×1×1×...× [m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×......] × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) =am × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) 注意當m趨向于無窮大時，上式的后半部分 [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) 是無窮小量。 ①若這個乘積趨向于1, 則am 趨向于無窮大。此時就不能說所有因子為無窮小。 ②若am確實是無窮小量，則兩個無窮小量的乘積必是無窮小量。則其乘積就不趨向于1。 |
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