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望陳莫及1984

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[求助] 一個(gè)積分的“元”問題。已有7人參與

首先聲明，問這個(gè)問題只是出于好奇，我沒有高深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如果你覺得問題很二的話，也不要笑話。
怎么證明一個(gè)曲邊梯形的面積可以用對(duì)應(yīng)函數(shù)在一定定義域內(nèi)的定積分表示出來？
換句話說，怎么證明曲邊梯形的面積和對(duì)應(yīng)函數(shù)的原函數(shù)的關(guān)系從何而來？圖片中的式子是怎么來的？

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命中注定的自作自受

1樓 2015-03-02 13:08:12

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修竹依米

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
望陳莫及1984: 金幣+10, ★★★★★最佳答案, 謝謝，原來如此，這就是我要的答案。 2015-03-05 20:04:25

引用回帖:

20樓: Originally posted by 望陳莫及1984 at 2015-03-04 11:42:46
我明白，極限等于曲邊梯形面積，積分等于原函數(shù)的差值，那么極限為什么等于積分？...

和你的理解有所差距：
這種和的極限就定義為定積分
至于定積分等于原函數(shù)的差值是在研究變上限積分之后得到的

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21樓2015-03-05 16:27:39

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xvsb

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

這個(gè)是嚴(yán)格相等的
想起高數(shù)老師來→_→”大化小，常代變，近似和，取極限”

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愿有歲月可回首，共以韶華錯(cuò)觥籌（且行且珍惜）

2樓2015-03-02 13:12:09

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

個(gè)人認(rèn)為，樓主提出的問題的答案其實(shí)就是牛頓-萊布尼茲公式的推導(dǎo)過程。

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3樓2015-03-02 13:43:44

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3樓: Originally posted by peterflyer at 2015-03-02 13:43:44
個(gè)人認(rèn)為，樓主提出的問題的答案其實(shí)就是牛頓-萊布尼茲公式的推導(dǎo)過程。

牛頓-萊布尼茲公式證明了定積分和原函數(shù)的關(guān)系。
可又怎么證明積分（原函數(shù)之差）就是曲邊梯形面積呢？

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命中注定的自作自受

4樓2015-03-02 14:04:32

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4樓: Originally posted by 望陳莫及1984 at 2015-03-02 14:04:32
牛頓-萊布尼茲公式證明了定積分和原函數(shù)的關(guān)系。
可又怎么證明積分（原函數(shù)之差）就是曲邊梯形面積呢？...

我的理解是：區(qū)間無限劃分后微元之積之間求和的式子就定義為該區(qū)間上的定積分；而這個(gè)定積分的計(jì)算可通過牛頓-萊布尼茲公式進(jìn)行。之所以可以這么做的原因可通過弄懂了公式的推導(dǎo)過程而得到解決。

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5樓2015-03-02 14:16:08

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5樓: Originally posted by peterflyer at 2015-03-02 14:16:08
我的理解是：區(qū)間無限劃分后微元之積之間求和的式子就定義為該區(qū)間上的定積分；而這個(gè)定積分的計(jì)算可通過牛頓-萊布尼茲公式進(jìn)行。之所以可以這么做的原因可通過弄懂了公式的推導(dǎo)過程而得到解決。...

原諒我數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好，一時(shí)無法理解。
微元之積？指的是f(x)dx？又是如何從f(x)dx到定積分的？或者說，前面那個(gè)積分符號(hào)“∫”是怎么出來的？

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6樓2015-03-02 15:01:25

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hylpy

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

“∫”的記號(hào)是萊布尼茲發(fā)明的，是和SUM中S的拉長(zhǎng)，而加上上下積分區(qū)間則是歐拉發(fā)明的。
用大、小曲邊梯形來逼近函數(shù)所包圍的面積，是萊布尼茲最初解決求面積的方法，并由此發(fā)明了積分。等式右邊又稱為黎曼和。

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凡事，一笑而過。。。。。。

7樓2015-03-02 15:22:30

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6樓: Originally posted by 望陳莫及1984 at 2015-03-02 15:01:25
原諒我數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好，一時(shí)無法理解。
微元之積？指的是f(x)dx？又是如何從f(x)dx到定積分的？或者說，前面那個(gè)積分符號(hào)“∫”是怎么出來的？...

我的意思就是Sum{f(xi)*Δxi, i=1~n,n--->∞}=Integral{f(x)*dx, x=a~b}是人為規(guī)定的。而這個(gè)人為規(guī)定的符號(hào)通過牛頓-萊布尼茲公式將它和不定積分聯(lián)系了起來。這就是定積分的由來。

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8樓2015-03-02 15:28:09

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7樓: Originally posted by hylpy at 2015-03-02 15:22:30
“∫”的記號(hào)是萊布尼茲發(fā)明的，是和SUM中S的拉長(zhǎng)，而加上上下積分區(qū)間則是歐拉發(fā)明的。
用大、小曲邊梯形來逼近函數(shù)所包圍的面積，是萊布尼茲最初解決求面積的方法，并由此發(fā)明了積分。等式右邊又稱為黎曼和。

我問的不是誰發(fā)明的。
我是問是微分f(x)dx是怎么變成積分∫f(x)dx的。
微分方程也是這樣，f(x)乘dx就變成了∫f(x)dx。what's the reason?

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9樓2015-03-02 20:50:09

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8樓: Originally posted by peterflyer at 2015-03-02 15:28:09
我的意思就是Sum{f(xi)*Δxi, i=1~n,n--->∞}=Integral{f(x)*dx, x=a~b}是人為規(guī)定的。而這個(gè)人為規(guī)定的符號(hào)通過牛頓-萊布尼茲公式將它和不定積分聯(lián)系了起來。這就是定積分的由來。...

人為規(guī)定？為什么這樣規(guī)定？
我不能把馬拉出來的東西規(guī)定叫牛糞吧？
錯(cuò)非這樣規(guī)定，不然什么都不是；一旦這樣規(guī)定，一切都能解釋得通。
怎么這么巧？

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10樓2015-03-02 20:56:22

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