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napxy木蟲 (著名寫手)
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[求助]
求解二階線性常微分方程的通解，請賜教，謝謝！ 已有2人參與
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微分方程為： 方程的通解為： 純數(shù)學(xué)問題，高數(shù)忘掉了，請熟悉的人解答，最好有詳細(xì)過程，非誠感謝！ |
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終之太刀—曉
鐵桿木蟲 (著名寫手)
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napxy: 金幣+10 2015-03-30 17:45:16
2樓2015-03-30 17:29:09
peterflyer 
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peterflyer
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1/X*d^2X/dx^2=-λ^2 (λ≥0) d^2X/dx^2+λ^2*X=0 用試湊法，假設(shè)方程解的形式為X=e^(β*x)的形式，其中β為待定參數(shù)。代入原方程中得到：β^2+λ^2=0 β1=i*λ ,β2=-i*λ 根據(jù)線性常微分方程通解的結(jié)構(gòu)的相關(guān)定理得到通解的形式為： 故 X=A'*e^(i*λ*x)+B'*e^(-i*λ*x) 利用歐拉公式：e^(i*λ*x)=Cos(λ*x) + i*Sin(λ*x) e^(-i*λ*x)=Cos(λ*x) - i*Sin(λ*x) 代入上面求出的通解之中， X=A'*Cos(λ*x) +A'*i*Sin(λ*x)+B'*Cos(λ*x)-B'*i*Sin(λ*x) =A'*(1+i)*Cos(λ*x) + B'*(1-i)*Sin(λ*x) =A*Cos(λ*x) + B*Sin(λ*x) |
3樓2015-03-30 18:52:50
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