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tigou木蟲 (正式寫手)
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[交流]
懸 賞一千元人民幣征集證明或反例 已有22人參與
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稱實數(shù)集上的四則運算及指數(shù)運算、對數(shù)運算為二級運算，由若干常數(shù)和一個未知數(shù)經(jīng)有限次二級運算合成的能用一個公式表示（排除分段函數(shù)）的函數(shù)，稱作二級函數(shù)。 例如，f(x)=(e^x+x^2)/(lnx-3x)是二級函數(shù)，sinx不是二級函數(shù)。 猜想：設(shè)實二級函數(shù)f(x)在點集E上有定義，E0是f在E上的零點集，E1=E-E0，則sup E不能既是E0的聚點又是E1的聚點。 感覺這個猜想有可能成為世界級難題。為此，我愿拿出一千元人民幣征集該猜想的證明，找到反例也算證明成功，懸賞期限為我的有生之年。 |
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12樓2015-05-29 21:52:42
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tigou
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要解釋清楚二級函數(shù)的本質(zhì)，需要一篇長長的論問，年內(nèi)我會嘗試在中國科技論文在線發(fā)表，歡迎你去查看。簡單地說：從加法到乘法，是二元運算的一次躍升；乘冪運算（有的文獻也叫指數(shù)運算）本質(zhì)上是乘法的推廣。這種推廣還可繼續(xù)，即定義出更高級的類乘法運算。故加法可視為0級乘，乘法為1級乘，乘冪為2級乘�？砂鸭臃捌淠孢\算稱為0級運算，乘法及其逆運算稱為1級運算，乘冪及其逆運算稱為2級運算。為簡化起見，也可籠統(tǒng)地說012級運算為廣義的二級運算。在廣義的二級運算中，每種運算都與從加法到乘法的躍升有關(guān)，三角函數(shù)則沒有這層關(guān)系。 你大可不必糾結(jié)二級運算的定義，只要明白二級函數(shù)的含義就好了。 至于非平凡零點，主要是考慮到有人會提出一些奇怪的函數(shù)，例如ln(-1)^x，就存在無限多的不連續(xù)的零點，但這些零點一眼就看得出來。如果你真想研究二級函數(shù)猜想，建議從1樓給出的命題開始，那個表述是我反復思考的結(jié)果，沒有漏洞。 |
9樓2015-05-29 20:12:51
hank612
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你這問題自然是很難的，至少我一點頭緒都沒有。我最困惑的一點是：實二級函數(shù)與復二級函數(shù)的分界點在哪里？ 1。（9樓）樓主舉的非顯然零點 例子錯的離譜， 2。(4樓) 你的命題 等價于 實二級函數(shù)零點最多只有有限個。 因為 無限個零點，要么f(x)的零點有聚點， 要么f(1/x)的零點有聚點。 而E就取以聚點為右端點的任意一個閉區(qū)間即有矛盾。 3.（24樓）Sard定理牽涉到零測集， 而你只關(guān)心零點個數(shù)，二者風馬牛不相及。 4.（8樓）利用 5.（27樓）級數(shù)展開沒什么用， 關(guān)鍵是對應的函數(shù)是否是（實�。。。┒壓瘮�(shù)。大家可以比較Sin(x)與 Sech(x) 的級數(shù)展開式。更有名的例子是 6.不難想象，如果 某個實二級函數(shù)有無窮個零點， 那么它的任意階導數(shù)也有無窮個零點。所以，周期函數(shù)一定不能是實二級函數(shù)。 7.你的二級函數(shù)在定義域內(nèi)可以取復變量z得到一個局部解析函數(shù)， 可惜基本上無法解析開拓到全平面成為亞純函數(shù)， 因此亞純函數(shù)的Weierstrass零點展開式 用不上。 恩，該休息了。 樓主加油。 |
30樓2015-05-30 13:23:49
tigou
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2樓2015-05-29 07:45:59
tigou
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tigou
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謝謝。參考商鞅變革的行為，我愿意兌現(xiàn)承諾  。這并不影響您我之間的交流，卻可以顯示我的誠意。為嚴格起見，本樓對乘冪和對數(shù)運算進行限定，進而重新表述二級函數(shù)猜想。稱實數(shù)集上的加法和減法為0級運算，乘法和除法（除數(shù)不為零）為1級運算，乘冪（底數(shù)大于0）和對數(shù)（底數(shù)大于0且不等于1）運算為2級運算。由若干常數(shù)和一個未知數(shù)經(jīng)有限次0、1、2級運算合成的單式函數(shù)，稱為2級函數(shù)。參考《自然數(shù)集上的廣義乘和鯉魚乘》http://www.paper.edu.cn/html/releasepaper/2015/07/86/ 2級函數(shù)猜想的三個等價表述： (1)設(shè)實2級函數(shù)f(x)在點集E上有定義，且E上存在非零點，則E上的零點集為有限集。 (2)設(shè)實2級函數(shù)f(x)在點集E上有定義，則E上的零點集和非零點集不能同時是無限集。 (3)設(shè)實2級函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，則存在a<c<b使f(x)在[c,b)上單調(diào)。 |
44樓2015-07-09 07:23:58
3樓2015-05-29 11:59:50
tigou
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10樓2015-05-29 21:24:08
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