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tigou木蟲 (正式寫手)
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[交流]
懸 賞一千元人民幣征集證明或反例 已有22人參與
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稱實(shí)數(shù)集上的四則運(yùn)算及指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算為二級運(yùn)算，由若干常數(shù)和一個(gè)未知數(shù)經(jīng)有限次二級運(yùn)算合成的能用一個(gè)公式表示（排除分段函數(shù)）的函數(shù)，稱作二級函數(shù)。 例如，f(x)=(e^x+x^2)/(lnx-3x)是二級函數(shù)，sinx不是二級函數(shù)。 猜想：設(shè)實(shí)二級函數(shù)f(x)在點(diǎn)集E上有定義，E0是f在E上的零點(diǎn)集，E1=E-E0，則sup E不能既是E0的聚點(diǎn)又是E1的聚點(diǎn)。 感覺這個(gè)猜想有可能成為世界級難題。為此，我愿拿出一千元人民幣征集該猜想的證明，找到反例也算證明成功，懸賞期限為我的有生之年。 |
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12樓2015-05-29 21:52:42
5樓2015-05-29 13:53:31
tigou
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要解釋清楚二級函數(shù)的本質(zhì)，需要一篇長長的論問，年內(nèi)我會嘗試在中國科技論文在線發(fā)表，歡迎你去查看。簡單地說：從加法到乘法，是二元運(yùn)算的一次躍升；乘冪運(yùn)算（有的文獻(xiàn)也叫指數(shù)運(yùn)算）本質(zhì)上是乘法的推廣。這種推廣還可繼續(xù)，即定義出更高級的類乘法運(yùn)算。故加法可視為0級乘，乘法為1級乘，乘冪為2級乘�？砂鸭臃捌淠孢\(yùn)算稱為0級運(yùn)算，乘法及其逆運(yùn)算稱為1級運(yùn)算，乘冪及其逆運(yùn)算稱為2級運(yùn)算。為簡化起見，也可籠統(tǒng)地說012級運(yùn)算為廣義的二級運(yùn)算。在廣義的二級運(yùn)算中，每種運(yùn)算都與從加法到乘法的躍升有關(guān)，三角函數(shù)則沒有這層關(guān)系。 你大可不必糾結(jié)二級運(yùn)算的定義，只要明白二級函數(shù)的含義就好了。 至于非平凡零點(diǎn)，主要是考慮到有人會提出一些奇怪的函數(shù)，例如ln(-1)^x，就存在無限多的不連續(xù)的零點(diǎn)，但這些零點(diǎn)一眼就看得出來。如果你真想研究二級函數(shù)猜想，建議從1樓給出的命題開始，那個(gè)表述是我反復(fù)思考的結(jié)果，沒有漏洞。 |
9樓2015-05-29 20:12:51
hank612
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
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你這問題自然是很難的，至少我一點(diǎn)頭緒都沒有。我最困惑的一點(diǎn)是：實(shí)二級函數(shù)與復(fù)二級函數(shù)的分界點(diǎn)在哪里？ 1。（9樓）樓主舉的非顯然零點(diǎn) 例子錯的離譜， 2。(4樓) 你的命題 等價(jià)于 實(shí)二級函數(shù)零點(diǎn)最多只有有限個(gè)。 因?yàn)?無限個(gè)零點(diǎn)，要么f(x)的零點(diǎn)有聚點(diǎn)， 要么f(1/x)的零點(diǎn)有聚點(diǎn)。 而E就取以聚點(diǎn)為右端點(diǎn)的任意一個(gè)閉區(qū)間即有矛盾。 3.（24樓）Sard定理牽涉到零測集， 而你只關(guān)心零點(diǎn)個(gè)數(shù)，二者風(fēng)馬牛不相及。 4.（8樓）利用 5.（27樓）級數(shù)展開沒什么用， 關(guān)鍵是對應(yīng)的函數(shù)是否是（實(shí)！�。。┒壓瘮�(shù)。大家可以比較Sin(x)與 Sech(x) 的級數(shù)展開式。更有名的例子是 6.不難想象，如果 某個(gè)實(shí)二級函數(shù)有無窮個(gè)零點(diǎn)， 那么它的任意階導(dǎo)數(shù)也有無窮個(gè)零點(diǎn)。所以，周期函數(shù)一定不能是實(shí)二級函數(shù)。 7.你的二級函數(shù)在定義域內(nèi)可以取復(fù)變量z得到一個(gè)局部解析函數(shù)， 可惜基本上無法解析開拓到全平面成為亞純函數(shù)， 因此亞純函數(shù)的Weierstrass零點(diǎn)展開式 用不上。 恩，該休息了。 樓主加油。 |
30樓2015-05-30 13:23:49
tigou
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2樓2015-05-29 07:45:59
tigou
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40樓2015-07-08 19:10:08
tigou
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謝謝。參考商鞅變革的行為，我愿意兌現(xiàn)承諾  。這并不影響您我之間的交流，卻可以顯示我的誠意。為嚴(yán)格起見，本樓對乘冪和對數(shù)運(yùn)算進(jìn)行限定，進(jìn)而重新表述二級函數(shù)猜想。稱實(shí)數(shù)集上的加法和減法為0級運(yùn)算，乘法和除法（除數(shù)不為零）為1級運(yùn)算，乘冪（底數(shù)大于0）和對數(shù)（底數(shù)大于0且不等于1）運(yùn)算為2級運(yùn)算。由若干常數(shù)和一個(gè)未知數(shù)經(jīng)有限次0、1、2級運(yùn)算合成的單式函數(shù)，稱為2級函數(shù)。參考《自然數(shù)集上的廣義乘和鯉魚乘》http://www.paper.edu.cn/html/releasepaper/2015/07/86/ 2級函數(shù)猜想的三個(gè)等價(jià)表述： (1)設(shè)實(shí)2級函數(shù)f(x)在點(diǎn)集E上有定義，且E上存在非零點(diǎn)，則E上的零點(diǎn)集為有限集。 (2)設(shè)實(shí)2級函數(shù)f(x)在點(diǎn)集E上有定義，則E上的零點(diǎn)集和非零點(diǎn)集不能同時(shí)是無限集。 (3)設(shè)實(shí)2級函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，則存在a<c<b使f(x)在[c,b)上單調(diào)。 |
44樓2015-07-09 07:23:58
3樓2015-05-29 11:59:50
tigou
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4樓2015-05-29 13:07:05
7樓2015-05-29 15:45:42
askuyue
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10樓2015-05-29 21:24:08
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