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沉默守望者新蟲 (小有名氣)
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[求助]
求解平面幾何問題
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過等邊三角形幾何中心任意畫一條直線，過該點(diǎn)（幾何中心）畫一條一條直線與前面的直線垂直。能否將三角形按面積四等分？ 發(fā)自小木蟲Android客戶端 |
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【答案】應(yīng)助回帖
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設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為1（不失一般性，可設(shè)為l），過其中心的兩條相互垂直的直線，若：1）有一條過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則這樣的兩條直線將三角形分成兩個(gè)相等的小三角形和兩個(gè)相等的梯形，易知小三角形的面積小于梯形的面積，即此時(shí)無法將正三角形按面積四等分； 2）直線不過三角形的頂點(diǎn)，則這樣的兩條直線將三角形分成三個(gè)四邊形和一個(gè)三角形；每個(gè)四邊形均可由過原來三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與中心的直線分成兩個(gè)三角形，此時(shí)，所有分成的三角形都是等高的，從而可以只用兩條直線切分原來三角形三條邊的有關(guān)線段來表示四個(gè)部分（三個(gè)四邊形和一個(gè)三角形）的面積。假設(shè)可以四等分面積，則表示這四個(gè)部分的式子相等，解相應(yīng)的等式，將會(huì)推出矛盾的結(jié)果，從而表明假設(shè)錯(cuò)誤，即這樣的兩條直線不能將正三角形按面積四等分。 注：本人不會(huì)傳圖，不便用代數(shù)式表示。樓主自己畫圖即可明白。 |
12樓2015-09-07 17:34:29
qfw_68
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【答案】應(yīng)助回帖
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可以。 1、過等邊三角形幾何中心任意畫一條直線（設(shè)為直線a），再做過三角形頂點(diǎn)且平行上述直線a的輔助直線b（直線b要取在三角形內(nèi)部，而不是只過一個(gè)三角形頂點(diǎn)；特殊情況下b至少是等邊三角形的一個(gè)邊）。 2、再過上述幾何中心畫一條一條直線與前面的直線a垂直，以平分等邊三角形的面積，設(shè)合適的直線為c、d、e，則c、d、e必然也垂直與b。 3、則直線b在等邊三角形中的直線段部分，被c、d、e分割成新形成的三角形的”高“。而c、d、e在等邊三角形中的直線段部分即是新三角形的底。 4、很顯然，只要取合適的c、d、e位置，及可滿足題意。 |
2樓2015-09-07 10:59:59
psylhh
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5樓2015-09-07 11:11:25
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6樓2015-09-07 11:14:07
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7樓2015-09-07 11:15:10
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9樓2015-09-07 11:23:38
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