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Edstrayer

版主 (著名寫手)

已領(lǐng)完

一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的題目: 領(lǐng)取紅包 (小木蟲手機(jī)app專屬紅包)

掃一掃，下載小木蟲客戶端

設(shè) $a_0<a_1<a_2<\cdots<a_n<a_{n+1}<\cdots$ 是正整數(shù)的無窮序列，試證：無窮級(jí)數(shù)

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{[a_n,a_{n+1}]}$

收斂，這里 $[a_n,a_{n+1}]$ 表示正整數(shù) $a_n,a_{n+1}$ 的最小公倍數(shù)。

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1樓 2015-10-11 05:02:40

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nono2009

超級(jí)版主 (文學(xué)泰斗)

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

如果是1,2,3,4，...，很容易證明是收斂的。而這已經(jīng)是所有可能級(jí)數(shù)中最大的和值了

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17樓2015-10-11 05:15:31

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Edstrayer

版主 (著名寫手)

http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=9129342

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5樓2015-10-11 05:04:22

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zhb8151

新蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 0 (幼兒園)
金幣: 1259.1
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在線: 9.2小時(shí)
蟲號(hào): 3116922

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

只是來領(lǐng)金幣是不是不太好

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22樓2015-10-11 06:09:43

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0404600213

金蟲 (正式寫手)

應(yīng)助: 56 (初中生)
金幣: 725.5
帖子: 992
在線: 295.6小時(shí)
蟲號(hào): 2224916

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

某樓的思路是對(duì)的，我補(bǔ)充一下

因?yàn)樽钚」稊?shù)等于兩個(gè)數(shù)的乘積除以最大公約數(shù)
又因?yàn)?a href="http://https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}*a_{n+1}}#opennewwindow" target="_blank" class="content_pic"> $\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}*a_{n+1}}$
再由于 $(a_{n},a_{n+1})|(a_{n+1}-a_{n})$
所以得出1/[a(n),a(n+1)]<=1/a(n)-1/a(n+1)
所以原級(jí)數(shù)[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum\frac{1}{[a_{n},a_{n+1}]}\leq\sum(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}})=\frac{1}{a_{0}}[/img]

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26樓2015-10-11 10:40:21

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raininjuly

木蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 0 (幼兒園)
金幣: 4552.7
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在線: 12.5小時(shí)
蟲號(hào): 3539299

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

總體收斂吧？某些區(qū)間是否會(huì)波動(dòng)下

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18樓2015-10-11 05:38:11

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chmzhuq

金蟲 (著名寫手)

應(yīng)助: 16 (小學(xué)生)
金幣: 12689.1
帖子: 1074
在線: 67.9小時(shí)
蟲號(hào): 321065

男男女女你

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19樓2015-10-11 05:41:43

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

因?yàn)椋╝,b)<=a, 所以(a[n],a[n+1])<=a[n+1]-a[n]

這等價(jià)于 1/[a[n],a[n+1]] <= 1/a[n] - 1/a[n+1]

證畢

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20樓2015-10-11 05:50:32

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shabaolin

銅蟲 (著名寫手)

應(yīng)助: 4 (幼兒園)
金幣: 8603.4
帖子: 1207
在線: 145.2小時(shí)
蟲號(hào): 868907

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

我覺得應(yīng)從最小公倍數(shù)的定義下手，分解為anan+1的k倍

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21樓2015-10-11 06:03:39

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Jakelee0405

新蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 0 (幼兒園)
金幣: 2038.8
帖子: 60
在線: 23.1小時(shí)
蟲號(hào): 4133650

Fhjjkkk

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23樓2015-10-11 06:33:54

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patiant

銅蟲 (著名寫手)

應(yīng)助: 1 (幼兒園)
金幣: 9009.5
帖子: 1534
在線: 215.2小時(shí)
蟲號(hào): 2049198

這么快？！

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24樓2015-10-11 07:13:08

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hylpy

專家顧問 (知名作家)

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

我想撬助追加些金幣，追加無門，暈啊

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28樓2015-10-11 13:15:52

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goaheadsan

金蟲 (正式寫手)

應(yīng)助: 0 (幼兒園)
金幣: 1566.7
帖子: 435
在線: 180.9小時(shí)
蟲號(hào): 3524479

哈哈

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29樓2015-10-11 15:05:38

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匿名

應(yīng)助: (幼兒園)
在線:
蟲號(hào): 0

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

本帖僅樓主可見

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30樓2015-10-11 22:54:25

已閱申請(qǐng)數(shù)學(xué)EPI 回復(fù)此樓編輯查看我的主頁

maojun1998

銀蟲 (正式寫手)

應(yīng)該不是太難

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31樓2015-10-12 00:00:19

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Edstrayer

版主 (著名寫手)

引用回帖:

31樓: Originally posted by maojun1998 at 2015-10-12 00:00:19
應(yīng)該不是太難

很簡(jiǎn)單的一個(gè)小題目啦

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32樓2015-10-12 03:01:48

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Edstrayer

版主 (著名寫手)

引用回帖:

26樓: Originally posted by 0404600213 at 2015-10-11 10:40:21
某樓的思路是對(duì)的，我補(bǔ)充一下

因?yàn)樽钚」稊?shù)等于兩個(gè)數(shù)的乘積除以最大公約數(shù)
又因?yàn)閔ttps://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}* ...

good ideas

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33樓2015-10-13 01:28:20

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

簡(jiǎn)單回復(fù)

wlx1213wlx2樓

2015-10-11 05:02 回復(fù)

Edstrayer(金幣+1): 謝謝參與

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誰知道呢？3樓

2015-10-11 05:02 回復(fù)

Edstrayer(金幣+1): 謝謝參與

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zxc453214樓

2015-10-11 05:04 回復(fù)

Edstrayer(金幣+2): 謝謝參與

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friend0120166樓

2015-10-11 05:04 回復(fù)

Edstrayer(金幣+2): 謝謝參與

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44407樓

2015-10-11 05:05 回復(fù)

Edstrayer(金幣+2): 謝謝參與

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lidajian5218樓

2015-10-11 05:05 回復(fù)

Edstrayer(金幣+1): 謝謝參與

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guozhongfo9樓

2015-10-11 05:06 回復(fù)

Edstrayer(金幣+1): 謝謝參與

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hejun197810樓

2015-10-11 05:06 回復(fù)

Edstrayer(金幣+1): 謝謝參與

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杰毛彎彎11樓

2015-10-11 05:06 回復(fù)

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探索社會(huì)12樓

2015-10-11 05:08 回復(fù)

Edstrayer(金幣+2): 謝謝參與

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fellow12613樓

2015-10-11 05:09 回復(fù)

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nono200914樓

2015-10-11 05:09 回復(fù)

Edstrayer(金幣+1): 謝謝參與

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這一年199215樓

2015-10-11 05:09 回復(fù)

Edstrayer(金幣+2): 謝謝參與

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yuzhiming16樓

2015-10-11 05:09 回復(fù)

Edstrayer(金幣+1): 謝謝參與

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showtimexh25樓

2015-10-11 07:38 回復(fù)

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liusmlw27樓

2015-10-11 12:48 回復(fù)

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