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tigou木蟲 (正式寫手)
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[求助]
在集合論中引入這個(gè)新的公理是否合適？
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與無(wú)限集基數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，通常都是異常復(fù)雜的。例如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，在ZFC中既無(wú)法證明，也無(wú)法推翻。這就引發(fā)了一類新的問(wèn)題，能否在集合論中引入一些新的公理，以獲得一些新的結(jié)論。 根據(jù)化變以及派生映射的定義，可以得到如下定理： 派生單射定理：如果 推論1：設(shè) 考慮推論1的逆命題，如果存在從 |
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tigou
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選擇公理也可用化變的元映射進(jìn)行表示。 任給非空集A和B，若元映射 滿足 則存在映射 滿足 用化變的視角不難看出，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和選擇公理有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即與無(wú)限集的冪集緊密相關(guān)。并且都試圖通過(guò)與冪集相關(guān)的某些性質(zhì)找出與原集相關(guān)的性質(zhì)。本帖建議的新公理也體現(xiàn)著同樣的努力方向。我的感觸是，利用派生映射、化變等概念，可以方便地從給定集合的相關(guān)性質(zhì)出發(fā)，找到其冪集的對(duì)應(yīng)性質(zhì)；但反過(guò)來(lái)的過(guò)程則要復(fù)雜得多，需要引入若干新的公理才能進(jìn)行逆推。 例如，如果甲乙兩個(gè)集合等式，則它們的冪集也等勢(shì)。這個(gè)結(jié)論可輕松證明，但反過(guò)來(lái)，如果甲乙兩個(gè)集合的冪集等勢(shì)，則甲乙兩個(gè)集合本身是否也等勢(shì)？這個(gè)命題卻難得要命，可能在ZF和ZFC中都無(wú)解，并且與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)密切相關(guān)（但并無(wú)等價(jià)）。更重要的是，這個(gè)命題在直覺(jué)上是正確的，其正確性比選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)更直觀。 還有一個(gè)更簡(jiǎn)潔的命題可導(dǎo)出選擇公理： 任給非空集A，存在映射 |
7樓2016-02-16 15:01:39
shabaolin
銅蟲 (著名寫手)
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2樓2016-02-11 07:03:56
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4樓2016-02-11 11:15:39
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