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yang05052002

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如圖，請問這個行列式怎么算?

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見圖，再往下算就是按第一行展開，每一項的范德蒙行列式均可算

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yang05052002

2樓2016-05-31 11:56:27

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yang05052002

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2樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-31 11:56:27
見圖，再往下算就是按第一行展開，每一項的范德蒙行列式均可算

謝謝

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3樓2016-05-31 13:16:50

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hank612

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【答案】應(yīng)助回帖

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yang05052002: 金幣+5, ★★★很有幫助 2016-05-31 22:16:43
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引用回帖:

3樓: Originally posted by yang05052002 at 2016-05-31 13:16:50
謝謝
...

樓主，你最后算出來行列式是不是等于

$(2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1))\cdot \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)$

我只驗證了n=1,2時的情形，思路是盡量利用范德蒙行列式，如 @gold2007 所指出的。

(1) 設(shè)行列式為f(x1,..,xn), 那么f 將是反對稱 (指 f(..., xi,...,xj,...)= - f(...,xj,...,xi,...)), 對每個變量xi 都是n次的多元多項式，并且由 xi=xj 時行列式為0 知道范德蒙行列式 $\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)$ 整除 f.

(2)考慮 $g(x_1,..,x_n)=\frac{f}{\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)}$ , 它將是每個 xi 的 1 次多項式。因為反對稱性質(zhì)已經(jīng)被范德蒙行列式 $\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)$ 實現(xiàn)，所以 g 本身還是關(guān)于x1,..,xn的對稱多項式。這樣一來，選擇的余地基本上很小了。

(3)依然由范德蒙行列式，可以直接讀出f的兩個特殊值。

$f(0,x_2,...,x_n)=\prod_{k=2}^n(x_k-1)\cdot \prod_{k=2}^n x_k \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 推出 $g(0,x_2,...,x_n)=\prod_{k=2}^n(x_k-1)$

$f(1,x_2,...,x_n)=2\cdot \prod_{k=2}^n(x_k-1)\cdot \prod_{k=2}^n x_k \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 推出 $g(1,x_2,...,x_n)=\prod_{k=2}^n x_k$ ,

于是對 x1的1 次多項式（即線性）g 在x1=0 和 x1=1出展開，得到

$g(x_1,...,x_n)=x_1g(1,x_2,...,x_n)-(x_1-1)g(0,x_2,...,x_n)=2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1)$

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4樓2016-05-31 21:49:35

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引用回帖:

4樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-31 21:49:35
樓主，你最后算出來行列式是不是等于

(2\prod_{k=1}^n x_k -\prod_{k=1}^n (x_k-1))\cdot \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)

我只驗證了n=1,2時的情形，思路是盡量利用范德蒙行列式，如 gold2007 所指出 ...

我沒算出來。你的解法我看暈了(⊙o⊙)…。明天再看看。

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5樓2016-05-31 22:16:24

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我只能說，這個解法具有一般性而且太巧妙了，謝謝分享。

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6樓2016-05-31 22:45:55

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6樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-31 22:45:55
我只能說，這個解法具有一般性而且太巧妙了，謝謝分享。
...

這其實是我的缺點�。何业挠嬎隳芰懿�，相比現(xiàn)在版主 Edstrayer, 前版主 feixiaolin 以及其他大神諸如 i維數(shù)，peterflyer 等直接暴力破解得到答案，我只能根據(jù)現(xiàn)成結(jié)論拼拼湊湊，盡量規(guī)避具體運算，所謂因人成事。

歸根到底還是硬分析能力欠缺啊.

話說回來，上面帖子中g(shù)(1,x2,...,Xn)的計算有誤，漏了一個因子2，不知你有沒有注意到？

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7樓2016-05-31 23:00:45

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7樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-31 23:00:45
這其實是我的缺點�。何业挠嬎隳芰懿�，相比現(xiàn)在版主 Edstrayer, 前版主 feixiaolin 以及其他大神諸如 i維數(shù)，peterflyer 等直接暴力破解得到答案，我只能根據(jù)現(xiàn)成結(jié)論拼拼湊湊，盡量規(guī)避具體運算，所謂因人成事。 ...

這樣的能力比硬分析還可怕。。。
沒注意系數(shù)，看了下思路，完全正確，那么那些枝節(jié)就不重要了。

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8樓2016-05-31 23:15:19

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兩個地方?jīng)]看懂。
第(2)，每個xi都是一次，為什么。
第(3)，f(0...)，f(1...)怎么算出來的。
謝謝！

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9樓2016-06-01 00:48:11

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9樓: Originally posted by yang05052002 at 2016-06-01 00:48:11
兩個地方?jīng)]看懂。
第(2)，每個xi都是一次，為什么。
第(3)，f(0...)，f(1...)怎么算出來的。
謝謝！
...

你的問題還真的很難回答, 因為我自己幾乎不計算,都是套用別人的結(jié)果...

(2) 由行列式的標(biāo)準(zhǔn)定義式, https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
(利用n階置換群的那個求和式) 知道 f對每一個 xi (把其它的xj當(dāng)成常數(shù))都是n次多項式, 那它除以一個 (n-1)次的多項式 (范德蒙行列式對每個xi都是(n-1)次的), 豈不是恰好是一次(線性)的么(對每一個xi來說)?

(3), 你在你最初的行列式中, 讓 x1=0, 于是第一列全是1, 其它列再減去第一列, 成為譬如 $(x_2 x_2^2 \dots x_2^n)^T$ . 于是你可以看出,
$\prod_{k=2}^n x_k \cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 整除這個行列式 (這是因為, 當(dāng) x_j=0 或 xj=xk 時, 行列式明顯為零).

現(xiàn)在, 你考慮行列式除以 $\prod_{k=2}^n x_k \cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 這個因子, 你會發(fā)現(xiàn), 除完以后的多項式次數(shù)為零, 也就是說, 它是個常數(shù).

然后, 你比較這個項的系數(shù): $1\cdot x_1\cdot x_2^2 \dots x_n^n$ , 在乘積 $\prod_{k=2}^n x_k \cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$ 中系數(shù)明顯是1, 而在行列式中, 只能夠通過對角線元素乘起來才能得到, 所以系數(shù)也是1. 那么, 1除以1 就是那個常數(shù), 所以得到了 f(0,...)的表達(dá)式.

f(1,...)其實是幾乎一樣的行列式, 除了第一列全是2. 你提出一個因子2以后, 就變成f(0,...)了.

很抱歉回答的很草率,給你添麻煩了.

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yang05052002

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10樓2016-06-01 03:23:58

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