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shuweilyou木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)
窮秀才
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[交流]
【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)
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| 對(duì)任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，個(gè)人感覺(jué)這個(gè)條件不能證明f(x)一定是線性函數(shù)。望各位大蝦給出反例。不勝感激。 |
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小雨萌萌(金幣+1):謝謝參與討論 2010-09-28 22:33:25
小雨萌萌(金幣+1):謝謝參與討論 2010-09-28 22:33:25
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沒(méi)說(shuō)是連續(xù)的。 保有理數(shù)數(shù)乘那倒是肯定的，這是保加法的直接推論，7樓已經(jīng)展示。至于保實(shí)數(shù)數(shù)乘那就不一定了。 實(shí)際上，基于選擇公理，存在著 R （實(shí)數(shù)集合）作為 Q （有理數(shù)域）上向量空間的一個(gè) Hamel 基 B ，這就是說(shuō)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以唯一地寫(xiě)為 B 中有限個(gè)元素的有理系數(shù)線性組合。現(xiàn)在任取 α∈B，規(guī)定 R 上函數(shù) f 如下：如果實(shí)數(shù) x 寫(xiě)成 B 中元素的有理系數(shù)線性組合時(shí)， α 的系數(shù)為 y，就令 f(x) = y。顯然， 函數(shù) f 滿足可加性條件，且有 f(α) = 1�，F(xiàn)在設(shè) x 是任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，按照函數(shù) f 的定義，它的值只可能是有理數(shù)，因此 f(xα) ≠ x = xf(α)。 [ Last edited by Pchief on 2010-9-28 at 10:13 ] |
9樓2010-09-28 10:11:15
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2樓2010-09-27 17:14:15
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4樓2010-09-27 20:56:33
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