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shuweilyou木蟲 (正式寫手)
窮秀才
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[交流]
【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)
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| 對任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，個人感覺這個條件不能證明f(x)一定是線性函數(shù)。望各位大蝦給出反例。不勝感激。 |
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2樓2010-09-27 17:14:15
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小雨萌萌(金幣+1):謝謝參與！線性函數(shù)在原點(diǎn)取值一定為0？ 2010-09-28 22:32:54
小雨萌萌(金幣+1):謝謝參與！線性函數(shù)在原點(diǎn)取值一定為0？ 2010-09-28 22:32:54
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在一元函數(shù)的范圍內(nèi)，這是一個線性函數(shù)的充分必要條件，證明如下： （1）f(0+0)=f(0)+f(0),則f(0)=0; （2）f(x-x)=f(x)+f(-x),則f(-x)=-f(x); （3）對于任意正整數(shù)m,f(m)=mf(1); （4）對于任意正整數(shù)m,n,f(n)=mf(n/m); （5）由(3)(4)知f(n/m)=n/mf(1); （6）于是知對于任意有理數(shù)f(x)=xf(1); （7）如果f(x)連續(xù); （8）則對所有無理數(shù)亦有f(x)=xf(1). [ Last edited by fyq98 on 2010-9-28 at 17:59 ] |
7樓2010-09-28 09:23:48
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8樓2010-09-28 09:47:34
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小雨萌萌(金幣+1):謝謝參與討論 2010-09-28 22:33:25
小雨萌萌(金幣+1):謝謝參與討論 2010-09-28 22:33:25
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沒說是連續(xù)的。 保有理數(shù)數(shù)乘那倒是肯定的，這是保加法的直接推論，7樓已經(jīng)展示。至于保實(shí)數(shù)數(shù)乘那就不一定了。 實(shí)際上，基于選擇公理，存在著 R （實(shí)數(shù)集合）作為 Q （有理數(shù)域）上向量空間的一個 Hamel 基 B ，這就是說，任何一個實(shí)數(shù)都可以唯一地寫為 B 中有限個元素的有理系數(shù)線性組合�，F(xiàn)在任取 α∈B，規(guī)定 R 上函數(shù) f 如下：如果實(shí)數(shù) x 寫成 B 中元素的有理系數(shù)線性組合時， α 的系數(shù)為 y，就令 f(x) = y。顯然， 函數(shù) f 滿足可加性條件，且有 f(α) = 1�，F(xiàn)在設(shè) x 是任意一個無理數(shù)，按照函數(shù) f 的定義，它的值只可能是有理數(shù)，因此 f(xα) ≠ x = xf(α)。 [ Last edited by Pchief on 2010-9-28 at 10:13 ] |
9樓2010-09-28 10:11:15
fyq98
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wuguocheng(金幣+1): 2010-10-22 19:29:21
wuguocheng(金幣+1): 2010-10-22 19:29:21
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你說得對，并沒提f的連續(xù)性，所以不能保證是線性函數(shù)。這個問題可是歷史上著名的問題，Cauchy曾經(jīng)解決過它，結(jié)論很有意思。關(guān)于這個問題的一些進(jìn)展詳見 http://www.ams.org/journals/bull ... 04-1942-07615-4.pdf |
10樓2010-09-28 17:58:14
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