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[交流] Euler 工程第十五題：從左上角到右下角有多少條路？已有4人參與

哈哈，題目越來越有意思了。下面這個題是個排列組合的題目。當然，不用那東西也能解出來。大家來玩玩吧！

說有一個2x2的格子，從左上角到右下角有6條可行的路線（要求不要回頭）如圖：

那么一個20x20的格子有多少條路線呢？

記得，不只可以寫代碼，還可以做分析。大家一起來玩吧！

[ Last edited by holmescn on 2011-5-22 at 20:40 ]

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1樓 2011-05-22 20:37:06

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小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖
余澤成(金幣+2): 謝謝參與交流！ 2011-05-22 23:33:29

點A(n, n)的通道數(shù)是A(n-1, n)和A(n, n-1)條數(shù)之和，即A(n, n) = A(n-1, n)+A(n, n-1)。這個題目就是咱曾經做過的f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1)的題目，只是初始條件是f(1, n) = 1，f(m, 1) = 1。
不過，這個題是傳說中的高考題，題解為m+n里面選出m或n條邊的組合數(shù)C(m+n)m。

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2樓2011-05-22 22:41:39

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huycwork

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余澤成(金幣+3, 程序強帖+1): 鼓勵交流！ 2011-05-22 23:34:32

C++實現(xiàn)的各種解法：

CODE:

#include 

enum {BUFSZ = 20};

//迭代f(m, n) = f(m, n-1)+f(m-1, n)的版本

double eular15(int m = 20, int n = 20){

        if(m < n){

                std::swap(m, n);

        }

        double buf[BUFSZ];

        for(int i = 0; i < BUFSZ; ++i)

                buf[i] = 1;

        for(int i = 0; i < n; ++i){

                buf[i] += buf[i];

                for(int j = i; j < m - 1; ++j){

                        buf[j+1] = buf[j] + buf[j+1];

                }

        }

        return buf[m-1];

}

//組合數(shù)直接計算版本，m+n里面選出m個和選出n個是一樣的

double _eular15(int m = 20, int n = 20){

        double r1 = 1, r2 = 1;

        for(int i =  n + 1; i <= m+n; ++i){

                r1 *= i;

        }

        for(int i = 1; i <= n; ++i){

                r2 *= i;

        }

        return r1/r2;

}

int main(){

         std::cout<
         std::cout<<_eular15()<
}

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3樓2011-05-22 22:48:27

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jjdg(金幣+2): 辛苦了 2011-05-23 01:32:29
余澤成(程序強帖+1): 2011-05-23 19:22:42

分析,所有到a點的方法是"到b點方法+到c點方法之和"
遞歸分析回去發(fā)現(xiàn),這正是matlab中的pascal矩陣

于是我偷懶了

matlab code

CODE:

 %% How many routes are there through a 20×20 grid?

function result = euler15()

tic;

a = pascal(21);

result = a(end,end);

toc;

end

結果+時間

CODE:

% Elapsed time is 0.008664 seconds.

% ans =

%               137846528820 

[ Last edited by libralibra on 2011-5-23 at 00:21 ]

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4樓2011-05-23 00:19:06

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小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖
余澤成(金幣+3): 辛苦了！ 2011-05-23 19:23:33

引用回帖:

Originally posted by huycwork at 2011-05-22 22:41:39:
點A(n, n)的通道數(shù)是A(n-1, n)和A(n, n-1)條數(shù)之和，即A(n, n) = A(n-1, n)+A(n, n-1)。這個題目就是咱曾經做過的f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1)的題目，只是初始條件是f(1, n) = 1，f(m, 1) = 1。
不過，這個 ...

2樓應該得程序強帖啊~！數(shù)學解最美~

我再詳細補充解釋一下吧：

格子數(shù)m行n列的時候，所謂的從左上角到右下角的路線，需要且僅僅需要經過m+n條線段（否則走的就是“彎路”），其中n條是橫線段，m條是豎線段，而且，如果能確定哪幾步經過的是橫線段，那么另外的步驟必然走的是豎線段，故所有組合數(shù)為

C(m+n, m) 或者 C(m+n, n)

對于題目中的行列格子數(shù)相等的情況，答案簡化為C(2n, n)

對于20x20的格子，路線總數(shù)為C(40, 20)

再形象一點說明，以1樓2x2的格子為例，起點到終點，經過的線段數(shù)為4條，其中2條橫線段，2條豎線段，那么組合可以為：

橫，橫，豎，豎
橫，豎，橫，豎
橫，豎，豎，橫
豎，橫，橫，豎
豎，橫，豎，橫
豎，豎，橫，橫

一共為C(4, 2)=(4*3)/(2*1)=6種走法~

PS：

囧，剛才沒看見3樓，上面當我什么都沒說吧.....

[ Last edited by sudo on 2011-5-23 at 13:51 ]

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5樓2011-05-23 13:47:02

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樓上的都很快阿
我用的笨辦法二維數(shù)組就是實現(xiàn)起來簡單，結果

CODE:

137846528820

elapsed time=0.000000 seconds.

代碼：

CODE:

#include 

#include 

#include 

#define TIMERSTART clock_t start_time,stop_time;double elapsed_time;start_time = clock();

#define TIMERSTOP stop_time = clock();elapsed_time=(double)(stop_time-start_time)/CLOCKS_PER_SEC;printf("elapsed time=%f seconds.\n",elapsed_time);

long long euler15(int n){

  int i,j;

  long long a[n+1][n+1];

  for(i=0;i
     a[i][0]=1;

     a[0][i]=1;

  }

  for(i=1;i
      for(j=1;j
         a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];

      }

  }

  return a[n][n];

}

int main(void){ 

 TIMERSTART;

 printf("%lld\n",euler15(20));

 TIMERSTOP;

  return 0;

}

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6樓2011-05-23 18:23:26

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