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[交流] Euler 工程第廿四題：全排列的第100萬項(xiàng) 已有5人參與

一個(gè)排列是一組對(duì)象的一個(gè)有序排列。比如3123是數(shù)字1、2、3和4的一個(gè)可能的排列。如果把所有的排列按照其數(shù)字or字母的大小順序都列出來，那就成為一個(gè)全排列。比如0、1、2的全排列是：
012 021 102 120 201 210

那么，數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8和9的全排列的第100萬項(xiàng)是多少？

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1樓 2011-06-10 10:27:10

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C++蠻力版代碼：

CODE:

#include 

#include 

#include 

using namespace std;

bool next_digit(char *first, char *last, char *end){

        char *left, *right;

        if(last-first<2){

                return false;

        }

        for(right = last; right > first; --right){

                for(left = right-1; left >= first; --left){

                        if(*left < *right){

                                if(!next_digit(left+1, right, end)){

                                        swap(*left, *right);

                                        sort(left+1, end);

                                        return true;

                                }else

                                        return true;

                        }

                }

        }

        return false;

}

string eular24(const string &str){

        char *base = const_cast(str.c_str());

        for(size_t i = 1; i < 1000000; ++i)

                next_digit(base, base+str.length()-1, base+str.length());

        return str;

}

int main(){

        cout<
        return 0;

}

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2樓2011-06-10 11:45:00

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非蠻力版也有，不過不是自己想出來的，就不好意思直接貼代碼了，基本想法就是數(shù)制的擴(kuò)展：
二進(jìn)制數(shù)制是這個(gè)樣子：
a1*2^n+a2*2^(n-1)+...+an*2^1+a*2^0
十進(jìn)制數(shù)制是這樣子：
b1*10^n+b2*10^(n-1)+...+bn*10^1+b*10^0
那我們可以考慮階乘進(jìn)制：
c1*n!+c2*(n-1)!+...+cn*1!+c*0!
不過階乘有點(diǎn)問題就是1!是1，0!是0，那就失去了最后一個(gè)的意義，所以最后一個(gè)去掉：
c1*n!+c2*(n-1)!+...+cn*1!+c
那前面的6個(gè)數(shù)就依次是：
0=0*2!+0*1!+0 => 012
1=0*2!+1*1!+0 => 021
2=1*2!+0*1!+0 => 102
3=1*2!+1*1!+0 => 120
4=2*2!+0*1!+0 => 201
5=2*2!+1*1!+0 => 210
上面的計(jì)算當(dāng)然跟一般的進(jìn)制計(jì)算不同，一般的進(jìn)制計(jì)算是要求前面的數(shù)不能大過模數(shù)，二進(jìn)制的前綴只能是0和1，十進(jìn)制的前綴只能是0~9，而階乘進(jìn)制的前綴就只能是0~n，n是指后面的n!，以3=>120為例，前面的運(yùn)算應(yīng)該是這樣子：
2!：012，前綴就是take out的索引，例子的是1
1!：02，例子中的是1，拿走的就是2
0!：0，剩下來的沒得選擇，這也是每個(gè)末尾都是0的原因
組合起來就是120

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3樓2011-06-10 12:04:56

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c語言非蠻力版
當(dāng)時(shí)就亂寫了個(gè) 也不清楚和上面的算法一樣不一樣

CODE:

#include 

#include 

char *euler24(int n){

        int a[10],i,j,i0;

        a[0]=1;

        for(i=1;i<10;i++)a[i]=a[i-1]*(i+1);

        for(i=0;i<10;i++){

                if(a[i]>=n){

                        i0=i+1;break;

                }

        }

        int b[i0];

        for(i=i0-2;i>=0;i--){

                b[i]=n/a[i];

                n%=a[i];

                if(n==0){

                        b[i]--;

                        n=a[i];

                }

        }  

        int p[i0];

        char str[i0+1];

        for(i=0;i

        for(i=0;i
                str[i]=p[b[i0-i-2]]+48;

                for(j=b[i0-i-2];j
                        p[j]=p[j+1];

        }

        str[i0-1]=p[0]+48;

        str[i0]='\0';

        return strdup(str);

}

int main(void){

        printf("%s\n",euler24(1000000));

        return 0;

}

[ Last edited by wangww2011 on 2011-6-10 at 13:28 ]

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4樓2011-06-10 13:24:31

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python偷懶版

CODE:

# 2783915460

# Elapsed time: 0.35266074 seconds

import itertools

from mytictoc import tic, toc

tic()

m=itertools.permutations('0123456789')

for i in xrange(1000000-1):

    m.next()

print ''.join(list(m.next()))

toc()

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此題改小一點(diǎn)可以做初中或小學(xué)奧數(shù)題了...

10!=3628800, 10!/10=362880
1000000/362880=2.75------（0123456789）第一位是2
1000000-362880*2=274240
362880/9=40320
274240/40320=6.80------（013456789）第二位是7
274240-40320*6=32320
40320/8=5040
32320/5040=6.40------（01345689）第三位是8
32320-5040*6=2080
5040/7=720
2080/720=2.89------（0134569）第四位是3
2080-720*2=640
720/6=120
640/120=5.33------（014569）第五位是9
640-120*5=40
120/5=24
40/24=1.67------（01456）第六位是1
40-24*1=16
24/4=6
16/6=2.67------（0456）第七位是5
16-6*2=4
6/3=2
4/2=2------（046）第八位是4
此處已實(shí)現(xiàn)整除，后三位必為4開頭的最大數(shù)，即460.

所以最后結(jié)果為 2783915460...

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6樓2011-06-10 15:50:03

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dubo(金幣+1): 歡迎常來程序語言版討論 2011-06-13 19:33:20

引用回帖:

Originally posted by fatpig8832 at 2011-06-10 15:50:03:
此題改小一點(diǎn)可以做初中或小學(xué)奧數(shù)題了...

10!=3628800, 10!/10=362880
1000000/362880=2.75------（0123456789）第一位是2
1000000-362880*2=274240
362880/9=40320
274240/40320=6.80------（013456789） ...

此法甚妙,一開始除362880的1000000是怎么來的?解釋下,謝謝了

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7樓2011-06-10 16:21:24

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暈，發(fā)晚了

樓上怎么沒人帖答案和時(shí)間了？

我的想法是利用階乘直接算。因?yàn)橐粋€(gè)全排列，其實(shí)就是每個(gè)元素都要在一個(gè)位置上出現(xiàn)一次。這樣一共有n!個(gè)排列（這個(gè)地球人都知道）。
這樣，如果某一位確定了的話，那么其余的位再用其余的數(shù)全排列就行了。（這話怎么這么繞口）

已經(jīng)知道10!=3628800,9!=362880,這樣1000000 - 2*9! = 274240, 也就是說第一位取0,1都不夠數(shù)，取2，而后面的沒的完成全排列就夠100萬了。OK，第一位是2了。
下面列表：

8! = 40320  274240 - 6 * 8! = 32320 第2位：7
7! = 5040 32320  - 6 * 7! = 2080  第3位：8
6! = 720 2080 - 2 * 6! = 640 第4位：3
5! = 120 640 - 5 * 5! = 40 第5位：9
4! = 24    40    - 1 * 4! = 16 第6位：1
3! = 6    16    - 2 * 3! = 4    第7位：5
2! = 2    4    - 2 * 2! = 0

最后剩：0 4 6 這三個(gè)數(shù)了. 而最后一個(gè)余0了。也就是第2個(gè)排列正好就夠第100萬個(gè)了.這樣結(jié)果就是：2783915460

不知道結(jié)果是不是對(duì)。這個(gè)用時(shí)當(dāng)然很少的了。

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8樓2011-06-10 17:09:02

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引用回帖:

Originally posted by libralibra at 2011-06-10 16:21:24:
此法甚妙,一開始除362880的1000000是怎么來的?解釋下,謝謝了

這個(gè)...不就是題目中的一百萬嗎...不過這不是編程而是死算，初中生甚至小學(xué)生都能搞出來...

8樓的做法應(yīng)該和我的一樣吧，雖然我沒怎么看懂...

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9樓2011-06-10 17:32:00

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python版代碼，算法剛才解釋過了。

CODE:

def fac(n):

    return reduce(lambda x, y: x*y, range(1, n+1))

n = 1000000

i = 9

numbers = range(10)

result = []

while i > 0 and n > 0:

    if n % fac(i) != 0:

        result.append(numbers[n/fac(i)])

    else:

        result.append(numbers[n/fac(i)-1])

    numbers.remove(result[-1])

    n  = n % fac(i)

    i -= 1

if len(numbers) > 0:

    numbers.reverse()

    result.extend(numbers)

print "".join([str(x) for x in result])

[ Last edited by holmescn on 2011-6-11 at 07:58 ]

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10樓2011-06-10 18:03:37

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