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小蘭花銀蟲 (著名寫手)
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[求助]
滿足一定條件（極小值）的函數(shù)的構(gòu)造，請高手幫忙！謝謝
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題意 和 所請教的 問題 見 附圖。 非常感激數(shù)學(xué)高手 幫忙解答！ 祝大家新年快樂、幸福！ |
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begtostudy
金蟲 (正式寫手)
Dr. 白途思
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2樓2012-01-17 23:39:48
【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
小蘭花(金幣+20): ★★★很有幫助 非常感激。設(shè)計得很巧妙！很抱歉，我之前的題意沒有表達的很清楚。現(xiàn)在從新表達一下。見下面附圖：“題意與問題 （修正后）.jpg”。 麻煩您再幫設(shè)計一下。非常感激。祝新年快樂、幸福！ 2012-01-18 10:56:19
小蘭花(金幣+1): cars ，這樣設(shè)計是不錯的。但題意要求1中，要求整個 函數(shù)只要唯一的一個極小值，無極大值。 上述構(gòu)造中 沒有包含 “無極大值”的條件。 再次感謝。 2012-01-18 11:49:22
小蘭花(金幣+20): ★★★很有幫助 非常感激。設(shè)計得很巧妙！很抱歉，我之前的題意沒有表達的很清楚。現(xiàn)在從新表達一下。見下面附圖：“題意與問題 （修正后）.jpg”。 麻煩您再幫設(shè)計一下。非常感激。祝新年快樂、幸福！ 2012-01-18 10:56:19
小蘭花(金幣+1): cars ，這樣設(shè)計是不錯的。但題意要求1中，要求整個 函數(shù)只要唯一的一個極小值，無極大值。 上述構(gòu)造中 沒有包含 “無極大值”的條件。 再次感謝。 2012-01-18 11:49:22
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這個有很多解，你如果只要構(gòu)造其中一個，可以試試。 假設(shè)f的二階導(dǎo)連續(xù)， 則1)轉(zhuǎn)為要求f''(x)>0，f'(0)=0; 則2)轉(zhuǎn)為f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=25.75,且只要滿足1）則滿足最小值的要求。 可以直接先求f的一階導(dǎo)，為表示方便用df表示f'。 則df'>0，因此用幾個導(dǎo)數(shù)大于0的函數(shù)設(shè)三個末知數(shù) 如設(shè)df=ge^x+hx+k, 則g=12.875/[3e^0.25-e^0.75-2] h=51.5*[2e^0.25-e^0.75-1]/[3e^0.25-e^0.75-2] k=-g; 因此, f=ge^x+h/2*x^2+kx滿足你說的要求。 |
3樓2012-01-18 09:16:46
小蘭花
銀蟲 (著名寫手)
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4樓2012-01-18 10:51:28
小蘭花
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5樓2012-01-18 10:53:09
【答案】應(yīng)助回帖
★ ★
小蘭花(金幣+10): 非常感謝。等你把”再改改“的結(jié)果發(fā)上了，我再繼續(xù)發(fā)金幣。 如果能把滿足W(a)=W(b) 的函數(shù)構(gòu)造出來，就太感謝了。我很需要這個結(jié)果。雖然金幣不足以表示感謝之情，但我還是會想辦法再掙些金幣，好追加金幣。 再次感謝！ 2012-01-18 14:29:29
soliton923(金幣+2): 謝謝參與討論~~~ 2012-01-18 17:16:28
小蘭花(金幣+10): 非常感謝。等你把”再改改“的結(jié)果發(fā)上了，我再繼續(xù)發(fā)金幣。 如果能把滿足W(a)=W(b) 的函數(shù)構(gòu)造出來，就太感謝了。我很需要這個結(jié)果。雖然金幣不足以表示感謝之情，但我還是會想辦法再掙些金幣，好追加金幣。 再次感謝！ 2012-01-18 14:29:29
soliton923(金幣+2): 謝謝參與討論~~~ 2012-01-18 17:16:28
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不好意思，前面弄錯了一點，這回改一下。 則1)轉(zhuǎn)為要求f''(x)>0（這是二階導(dǎo)大于0，有這點可以滿足沒有最大值且只有一個最小值），f'(0)=0; 則2)轉(zhuǎn)為f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=25.75,且只要滿足1）則滿足最小值的要求。 可以直接先求f的一階導(dǎo)，為表示方便用df表示f'。 則df'>0，因此用幾個導(dǎo)數(shù)大于0的函數(shù)組合，但要求其加權(quán)系數(shù)要大于0，（前面就是漏了這點）。 如設(shè)df=g(e^(kx)-1),（g>0）滿足f'(0)=0;只要用另外兩條求g和k就行. 注意到exp(0.75k)=exp(0.25k)^3.使用符號T=exp(0.25k) 兩方程為 g(T-1)=12.875,g(T^3-1)=25.75 得 T^3-2T-3=0; 其實數(shù)解為 t=[1.5+sqrt(211/108)]^(1/3)+[1.5-sqrt(211/108)]^(1/3) 近似為1.893 g=12.875/(T-1)=14.4（g>0，結(jié)果可用） k=ln(t)/0.25=2.55 因此， f=g/k*exp(kx)-gx滿足要求。 如要求W(a)=W(b)，即f(a)=f(b)還得再考慮 |
6樓2012-01-18 13:56:28
7樓2012-01-18 14:10:15
【答案】應(yīng)助回帖
小蘭花(金幣+16): ★★★很有幫助 非常感謝。思路很好，很巧妙。但我用你提供的公式，用matlab畫圖，沒有得到題意中的結(jié)果。我正在檢查你的推導(dǎo)過程。 如果你有空的話，也幫我核對一下。 謝謝。 2012-01-18 15:47:24
小蘭花(金幣+2): cars ，您好。我已經(jīng)把計算中的小錯誤找出來了，見 下面的附圖。 構(gòu)造的函數(shù)滿足第2個條件，但第1個條件不滿意。該如果修正呢。 多次麻煩你，真抱歉。非常感謝你的耐心。 2012-01-18 16:49:28
小蘭花(金幣+23): ★★★很有幫助 非常感謝耐心講解和分析。我再仔細分析一下，看是否存在 同時滿足這兩個這兩個條件的函數(shù)。 祝福你新年快樂，事事順心！ 2012-01-18 22:19:11
小蘭花(金幣+50): ★★★很有幫助 非常感謝。祝龍年大吉，一切順利。 2012-02-03 09:10:07
小蘭花(金幣+2): cars ，您好。我已經(jīng)把計算中的小錯誤找出來了，見 下面的附圖。 構(gòu)造的函數(shù)滿足第2個條件，但第1個條件不滿意。該如果修正呢。 多次麻煩你，真抱歉。非常感謝你的耐心。 2012-01-18 16:49:28
小蘭花(金幣+23): ★★★很有幫助 非常感謝耐心講解和分析。我再仔細分析一下，看是否存在 同時滿足這兩個這兩個條件的函數(shù)。 祝福你新年快樂，事事順心！ 2012-01-18 22:19:11
小蘭花(金幣+50): ★★★很有幫助 非常感謝。祝龍年大吉，一切順利。 2012-02-03 09:10:07
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前面弄復(fù)雜了，重來，抱歉 注意到W(a)＝W(b)等于f(a)=f(b)。 f'(a)=12.875,f'(b)=-f'(a)=12.875。 W''>0等于f''(0)>-51.5。 由幾個已知轉(zhuǎn)為如下要求 1)轉(zhuǎn)為要求f''(x)>－51.5。 2)f'(0)=0;f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=-f(0.25) 3)f(0.25)=f(0.75) 由1）和2）可以看出3次方程有可能滿足要求 由對稱性 df=g(x-0.5)^3+h(x-0.5) (g>0) 可以滿足df(0.25)=-df(0.75),f(0.25)=f(0.75)的要求（關(guān)于0.5對稱） 同時，可以滿足df(0)=0的要求。 用df(0.25)=12.875，可以得出 g=824-16h。 只要滿足此式的g>0的值均可滿足你的要求。 例h=0,g=824 f=206(x-1/2)^4,df=824(x-1/2)^3可滿足你的要求。 希望這次沒錯。 |
8樓2012-01-18 14:43:58
小蘭花
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非常感激cars 的耐心推導(dǎo)。函數(shù)構(gòu)造很巧妙。計算中可能有點小錯誤，修改如下：并得到函數(shù)圖像。見附圖。 從 函數(shù)圖像可以看出。當(dāng)δ=1 時，滿足題意，當(dāng)δ=0時，不滿足題意。 該如何修正，才可以同時滿足題意呢？ 還請 cars 等 數(shù)學(xué)高手 來解答。 非常感謝。 計算中可能有點小錯誤，修改如下： df=g(x-0.5)^3+h(x-0.5) (g>0) 可以滿足df(0.25)=-df(0.75),f(0.25)=f(0.75)的要求（關(guān)于0.5對稱） (1)、要滿足 df(0)=0 的要求 代人df的表達式中，有 g(0-0.5)^3+h(0-0.5)=0 即 g=-4h. (2)、用df(0.25)=12.875，可以得出 g(0.25-0.5)^3+h(0.25-0.5) = 12.875 即 g=-824-16h 聯(lián)立 上面兩個g的 等式，得 g=824/3 h=-206/3 |
9樓2012-01-18 16:46:19
小蘭花
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10樓2012-01-18 17:00:12
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