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箏箏日上銀蟲 (著名寫手)
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[求助]
實(shí)對(duì)稱方陣特征值研究�。�！
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A是實(shí)對(duì)稱方陣，λ1<=λ2<=.....<=λn，假設(shè)A1 是A的左上角n-1階子矩陣，特征根μ1<=μ2<=....<=μ（n-1）,證明λ1<=μ1<=...<=μ(n-1)<=λn 在做分類討論時(shí)，即μ是否兩兩不同時(shí)，怎么說(shuō)明才能說(shuō)明白？  大一的數(shù)學(xué)題爾等要是不會(huì)就白上學(xué)了。。。。  [ Last edited by 箏箏日上 on 2012-5-30 at 21:30 ] |
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
soliton923: 金幣+2, 謝謝參與討論~~~ 2012-06-01 16:15:43
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三件事： （1）A的最小特征根＝ （2）如果令Y為n-1階向量，Y延拓為n維向量X（X前n-1個(gè)元素與Y相同，最后一個(gè)元素為0），則有 （3）A的不同特征子空間正交。即：把所有特征值排序，從小到大設(shè)為第一特征值、第二特征值、第三特征值……同樣，可設(shè)其對(duì)映的特征向量構(gòu)成的空間設(shè)為第 i 特征子空間。第一特征值可由（1）中的方法得到；只需前X限定在第一特征子空間的正交補(bǔ)空間上再用（1）取最小值就是第二特征值…… 只需要前兩件事就能得到你給的結(jié)論了。實(shí)際上如果知道第三件事，這道的結(jié)論可以更好一些 |
5樓2012-05-31 18:40:13
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7樓2012-06-01 12:32:59
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8樓2012-06-01 18:15:04
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9樓2012-06-01 18:34:22
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好吧,我的方法你都不看的.那我就用你的思路來(lái)證明你的第一部分來(lái)證明第二部分: (1)設(shè)A(x)的第i,j項(xiàng)為原來(lái)矩陣A中的元素+i*J*x. 則有:A(x)的特征根關(guān)于x連續(xù);A(x)所定義的\alpha(x)只有有限個(gè)x使得其為零;只有有限個(gè)點(diǎn)x才能使得A1(x)的特征根有部分相同 (2)由第一部分的結(jié)論有:\lamda 1(x)<\nu1(x)<...<\nu_{n-1}<\lambda_n (當(dāng)x在零點(diǎn)的某個(gè)較小的鄰域中) 令x趨向于零,上述特征根趨于相應(yīng)的A(或A1)的相應(yīng)特征根,并且上述"<"變?yōu)?quot;<=" |
10樓2012-06-11 10:18:35
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