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我覺得應(yīng)該可以從從穩(wěn)定矩陣的性質(zhì)和矩陣范數(shù)的定義兩個(gè)角度綜合考慮，希望能夠提供一定的思路。

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2樓2013-08-11 16:12:36

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lipeng0327: 金幣+1 2013-08-11 22:13:39

將F矩陣對(duì)角化，然后利用F與對(duì)角矩陣（其中主對(duì)角線元素為F矩陣的特征值）的等價(jià)性就可以證明了。

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3樓2013-08-11 21:49:38

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將F化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，按照子塊的幾種不同類型分別討論就可以了。

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4樓2013-08-12 09:45:37

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將F分解為F=U*S*V'，U和V為單位矩陣，S為F的奇異值構(gòu)成的對(duì)角陣。
這樣就有|e^Ft|=|U*(e^St)*V|<=|U|*|e^St|*|V|。由于U和V為單位陣，所以有|e^Ft|<=|e^St|。
S是對(duì)角陣，剩下的應(yīng)該明白了吧。

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5樓2013-08-12 12:16:10

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引用回帖:

5樓: Originally posted by gaofeng79 at 2013-08-12 12:16:10
將F分解為F=U*S*V'，U和V為單位矩陣，S為F的奇異值構(gòu)成的對(duì)角陣。
這樣就有|e^Ft|=|U*(e^St)*V|<=|U|*|e^St|*|V|。由于U和V為單位陣，所以有|e^Ft|<=|e^St|。
S是對(duì)角陣，剩下的應(yīng)該明白了吧。

|e^Ft|=|U*(e^St)*V|此式不成立的

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6樓2013-08-12 18:41:26

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7樓2013-08-12 23:27:54

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★
lipeng0327: 金幣+1, ★有幫助, 利用級(jí)數(shù)展開時(shí)，UV~=I，只是化為約旦型可以， F=Q*J*inv(Q), J為約旦塊 2013-08-13 16:45:33

引用回帖:

6樓: Originally posted by lipeng0327 at 2013-08-12 18:41:26
|e^Ft|=|U*(e^St)*V|此式不成立的...

請(qǐng)看一下自動(dòng)控制原理里面關(guān)于狀態(tài)方程求解和變換部分的內(nèi)容。

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8樓2013-08-13 16:03:44

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我的證明思路是這樣的：
將F化為 F=P*J*inv(P), J為標(biāo)準(zhǔn)的約當(dāng)塊，P為F的廣義特征向量組成的變換陣，e^Ft = P * M * inv(P)，M是可以直接由J列寫的，M為上三角或下三角矩陣。以2范數(shù)為例來證明：
|| e^(Ft)|| = || P * M * inv(P)|| <=||P||*||M||*|| inv(P)||
因?yàn)閨|P||和|| inv(P)|| 為常數(shù)，
則  || e^(Ft)||<=k*||M||，此處 k = ||P||*|| inv(P)||
||M||=(max_ lambda(M*M'))^(1/2)  （此處lambda(.) 表示.的特征值）
而M*M'為正定對(duì)稱陣，其所有的特征值都大于零，
所以有 max_ lambda(M*M')<trace(M*M'),  trace(.)表示方陣.的跡。
trace(M*M')< n*(M*M'的最大主對(duì)角元)，此處n為M*M'的維數(shù)。
M*M'的最大主對(duì)角元應(yīng)該是（e^(bt))^2，此處b為F的所有特征值中具有的最大的負(fù)實(shí)部。
綜合得到
|| e^(Ft)||<=k*||M||

=k*(max_ lambda(M*M'))^(1/2)
=k*(trace(M*M'))^(1/2)
<=k*(n*(M*M'的最大主對(duì)角元))^(1/2)
=k*n^(1/2)*e^(bt))
=m*e^(-alpha*t)    此處（m = k*n^(1/2), alpha = -b）

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9樓2013-08-13 17:13:01

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我的結(jié)果可能很粗糙，應(yīng)為下面的這一步縮放太大了
max_ lambda(M*M')<trace(M*M'), trace(.)表示方陣.的跡

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10樓2013-08-13 17:16:07

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