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梅卡瓦

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[求助] 求助——求解三元二次多項式方程組已有1人參與

如何求解如圖所示的三元二次多項式方程組？

其中x1 x2 x3 為三個未知數(shù)，其余皆為已知量。
目前查閱文獻，已知的思路有吳文俊院士的特征列方法（吳消元法）、牛頓迭代法以及優(yōu)化算法（如遺傳算法等等）。不知這些方法各有什么優(yōu)缺點，哪種方法比較合適？哪位大俠對吳消元法比較了解，能否為我指點一二？或者哪位大俠還有什么更好的辦法？請各位不吝賜教，小弟在此感激不盡，一點金幣，聊表心意。十萬火急！

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1樓 2014-05-21 21:00:45

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【答案】應(yīng)助回帖

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
梅卡瓦: 金幣+25, ★★★很有幫助, 分析的很有條理，求進一步指點！ 2014-05-24 17:18:37

求解這類多項式方程組先要明白自己的目的和約束的情況.
首先,一般情況下closed form解析解是木有的; 個別特殊情況有但看你的問題;
1. 如果是求復(fù)數(shù)域上的全部解,Bezout定理(比左)給出全部解的個數(shù)的上限; 全部解通常是符號或半符號半數(shù)值求解;這時候方面求所有解有很多方法:
(1)Grobner basis方法;
(2)Wu 方法;
(3)resultant 結(jié)式方法;
(4)半符號半數(shù)值的Homotopy continuation方法(同倫延拓)
這些方法的本質(zhì)是消元,從你的研究的角度看,只是找求解方法,Maple, Mathematica都有這些算法的工具包,可以現(xiàn)成調(diào)用(Wu 方法的你可以搜一下, 網(wǎng)上有maple寫的package可以下載)

2. 數(shù)值求單個解
如果僅對局部的某個解感興趣就有各種數(shù)值方法,
比如Newton迭代, Gauss-newton, Levenberg-Marquardt,共軛梯度等方法, 給定初值,迭代到收斂即可;
還可以用全局優(yōu)化方法最小化問題的殘差,
比如differential evolution, particle swarm optimization, 遺傳, 模擬退火等等

這些算法都是經(jīng)典的方法, 網(wǎng)上都能找到現(xiàn)成的代碼和算法的詳細教程.

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文章乃身外之物,要多考慮編輯、審稿人和讀者的感受。

2樓2014-05-22 13:08:29

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2樓: Originally posted by Mr__Right at 2014-05-22 13:08:29
求解這類多項式方程組先要明白自己的目的和約束的情況.
首先,一般情況下closed form解析解是木有的; 個別特殊情況有但看你的問題;
1. 如果是求復(fù)數(shù)域上的全部解,Bezout定理(比左)給出全部解的個數(shù)的上限; 全部解 ...

這位大俠能否加我QQ號或者留下聯(lián)系方式？我想進一步交流一下，把問題搞清楚！麻煩了！471586653

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3樓2014-05-24 17:20:29

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3樓: Originally posted by 梅卡瓦 at 2014-05-24 17:20:29
這位大俠能否加我QQ號或者留下聯(lián)系方式？我想進一步交流一下，把問題搞清楚！麻煩了！471586653...

我自己也是業(yè)余的;
盡可能在論壇上討論問題吧,這樣更多高手關(guān)注,
大家都來參與學(xué)習(xí)

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4樓2014-05-25 07:13:32

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4樓: Originally posted by Mr__Right at 2014-05-25 07:13:32
我自己也是業(yè)余的;
盡可能在論壇上討論問題吧,這樣更多高手關(guān)注,
大家都來參與學(xué)習(xí)...

你說的對，我的需求其實只是求解方程組得到一組可用的解。
可是我有兩個問題搞不清楚：
1.如果我用數(shù)值方法求單個解的話，如何保證得到的解是可用的？還是數(shù)值方法可以得到多組解，我自己再去篩選？
2.請問你提到的求全部解的4種方法，各有什么優(yōu)缺點？哪種方法更適合我的問題？
下面的圖片給出我在計算中得到的具體方程組，哪位大俠能指點一下應(yīng)該如何求解？

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5樓2014-05-25 12:50:47

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梅卡瓦: 金幣+25, ★★★很有幫助, 謝謝大俠的指點！ 2014-05-27 12:54:42

你這個方程組比較簡單. 可以直接用Maple, Mathemativa之類的求解.
比如在Mathematica中輸入:
Clear[x, y, z]; NumberForm[
NSolve[{1.93805257495139 *x + 1.989901744045*y - 1.9244788 x^2 -
   0.4793725136 y^2 + 0.540591811 z^2 - 3.00851527111272 *x *y ==
   0.0356142609461645,
-2.02270095119066 x - 0.2903506814963 y - 0.3872090436 x^2 +
   0.5233523265 y^2 - 0.2891801123 z^2 +
   0.99491104241917*x *y == -0.0211426337846164,
0.953267077902323*z + 1.23636528154085 *x* z +
   0.855917408071703 *y* z == 0.00891858054778995},
{x, y, z}] // MatrixForm, 15]

(請自己確認系數(shù),自己針對自己的特定系數(shù)用軟件求解即可)

求解之后得到全部的8個解如下:
{
1. {x -> 21.06516309222786 - 0.014303849674439961` I,
  y -> -31.54218263228234 + 0.020360383969386213` I,
  z -> 0.02299353864864497 + 34.5713348028858 I},(復(fù)數(shù)解)

2. {x -> 21.06516309222786 + 0.014303849674439961` I,
  y -> -31.54218263228234 - 0.020360383969386213` I,
  z -> 0.02299353864864497 - 34.5713348028858 I},(共軛的復(fù)數(shù)解)

3.  {x -> -0.8912095836950181, y -> 0.17847914180324503`,
  z -> 2.138802447878191},

4.  {x -> 1.3273043580910389`, y -> -3.6974911206708505`,
  z -> -0.01563437431037731},

5.  {x -> -0.9139950564348167, y -> 0.20165424873766055`,
  z -> -2.1411639624319863`},

6.  {x -> 0.5665708078067153, y -> 1.305714796246315,
  z -> 0.0032181478652548463`},

7.  {x -> -2.123464879108108, y -> 1.695546528257502,
  z -> -0.040380529932251094`},

8. {x -> 0.009171193670200587, y -> 0.009171193670262097,
  z -> 0.009171193670214847}
}

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6樓2014-05-25 17:09:20

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???????:

6?: Originally posted by Mr__Right at 2014-05-25 17:09:20
??????????????. ?????????Maple, Mathemativa???????.
??????Mathematica??????:
Clear; NumberForm

(???????????,????????????????????????????)

?????????????8????????:
{
...

我自己用mathematica驗??了一下，果然???以，而且算的還挺快??大俠你知???這個軟件是用什么算法求解方程組的???？我自己用maple解的時候就???天出?????結(jié)果，是maple本身慢還是我弄錯了。

[ ????С??????? ]

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7樓2014-05-25 22:12:07

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???????:

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8樓2014-05-25 22:12:22

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6樓: Originally posted by Mr__Right at 2014-05-25 17:09:20
你這個方程組比較簡單. 可以直接用Maple, Mathemativa之類的求解.
比如在Mathematica中輸入:
Clear; NumberForm

(請自己確認系數(shù),自己針對自己的特定系數(shù)用軟件求解即可)

求解之后得到全部的8個解如下:
{
...

我暈，手機回復(fù)怎么出來是亂碼。。。
大俠，我用Mathematica試了下，確實可以，而且還挺快！你知道它是用什么算法求解方程組的嗎？
我用maple試著求解方程組時，就半天出不了結(jié)果，不知道是maple本身算法慢還是我搞錯了。

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9樓2014-05-25 22:40:58

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鐵蟲 (初入文壇)

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你是搞并聯(lián)機器人的吧，我最近也在算這個。

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Don'tlookforwardtomorrowdon'tmissyesterdaygograsptoday

10樓2015-12-03 17:24:20

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