pakchoi

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求大神幫忙求解下下面的級(jí)數(shù)求和，多謝了！

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1樓 2014-06-26 22:10:32

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peterflyer

木蟲之王 (文學(xué)泰斗)

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【答案】應(yīng)助回帖

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pakchoi: 金幣+50, ★★★★★最佳答案 2014-06-27 08:36:32

引用回帖:

5樓: Originally posted by peterflyer at 2014-06-27 08:18:29
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
=1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}
因?yàn)閑^=SUM{^m/m!,m=1~∞}
=SUM{x^(m/2)/m!,m=1~∞}
故：SUM{x^(n-1)/ ...

更正：
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
=1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}

因?yàn)閑^[sqrt(x)]=SUM{[sqrt(x)]^m/m!,m=0~∞}
=1+SUM{[sqrt(x)]^m/m!,m=1~∞}
=1+SUM{x^(m/2)/m!,m=1~∞}
故：SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}={e^[sqrt(x)]-1}/sqrt(x)

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6樓2014-06-27 08:26:45

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

sh(sqrt(x))/sqrt(x)

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2樓2014-06-26 23:02:24

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Edstrayer

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[latex]\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(2n-1)!}=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

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3樓2014-06-27 04:44:11

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【答案】應(yīng)助回帖

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(2n-1)!}=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

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4樓2014-06-27 04:46:12

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
=1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}
因?yàn)閑^[sqrt(x)]=SUM{[sqrt(x)]^m/m!,m=1~∞}
=SUM{x^(m/2)/m!,m=1~∞}
故：SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=e^[sqrt(x)]/sqrt(x)

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5樓2014-06-27 08:18:29

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引用回帖:

6樓: Originally posted by peterflyer at 2014-06-27 08:26:45
更正：
令m=2*n-1，
SUM{x^(n-1)/(2*n-1)! ,n=1~∞}=SUM{x^(m/2-1/2)/m! ,m=1~∞}
=1/sqrt(x)*SUM{x^(m/2)/m! ,m=1~∞}

因?yàn)閑^=SUM{^m/m!,m=0~∞}
=1+SUM{^m/m!,m=1~∞}
=1+SUM{x^ ...

多謝了，看來還是自己沒動(dòng)腦筋~

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7樓2014-06-27 08:35:37

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剛發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，做這個(gè)代換m=2n-1時(shí)，m只能取奇數(shù)，所以下面變換成e指數(shù)時(shí)，是有些問題的。

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8樓2014-06-27 09:19:31

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這個(gè)是套用初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，正弦函數(shù)～

[ 發(fā)自小木蟲客戶端 ]

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9樓2014-06-27 09:39:02

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4樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 04:46:12
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(2n-1)!}=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

能不能給出詳細(xì)的計(jì)算過程？

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10樓2014-06-27 09:48:00

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