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ihsadams

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[求助] 關(guān)于矩陣1范的問(wèn)題

請(qǐng)教大家一個(gè)問(wèn)題： $||AA^T||_1$ 和 $||A^TA||_1$ 有什么聯(lián)系嗎？在正則化的時(shí)候，兩者的最小化 $\min||AA^T||_1$ 和 $\min||A^TA||_1$ 是否等價(jià)或者有沒(méi)有什么聯(lián)系？ $A^T$ 是A的轉(zhuǎn)置，A不一定是方陣，A的所有元素非負(fù)。謝謝大家！

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【轉(zhuǎn)帖】理解矩陣已經(jīng)有51人回復(fù)

1樓 2014-07-24 11:32:57

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feixiaolin

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A^T=A時(shí)，兩者的最小化是等價(jià)關(guān)系: det(AA^T)=det(A^TA)

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2樓2014-07-24 15:11:44

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ihsadams

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忘了說(shuō)，這里的1范是m1范，也就是矩陣所有元素的絕對(duì)值的和，不是向量誘導(dǎo)出的列和范數(shù)

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3樓2014-07-28 16:54:59

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hank612

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引用回帖:

3樓: Originally posted by ihsadams at 2014-07-28 16:54:59
忘了說(shuō)，這里的1范是m1范，也就是矩陣所有元素的絕對(duì)值的和，不是向量誘導(dǎo)出的列和范數(shù)

應(yīng)該沒(méi)什么關(guān)系。
當(dāng)矩陣元素均非負(fù)時(shí)，絕對(duì)值就不用考慮了，因此這兩個(gè)范數(shù)分別是
$\sum_{i,j,k=1}^n a_{ik}{a_jk}, \mathrm{and } \sum_{i,j,k=1}^n a_{ki}a_{kj}$

一般的結(jié)果是: AA^T, A^TA 有相同的非零特征值（重?cái)?shù)也相等）。

舉個(gè)例子吧，設(shè)A=(1,2), 那么AA^T=5, A^TA=(1 2; 2 4),所以兩個(gè)范數(shù)相差甚遠(yuǎn)。

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We_must_know. We_will_know.

4樓2014-08-04 07:43:10

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引用回帖:

4樓: Originally posted by hank612 at 2014-08-04 07:43:10
應(yīng)該沒(méi)什么關(guān)系。
當(dāng)矩陣元素均非負(fù)時(shí)，絕對(duì)值就不用考慮了，因此這兩個(gè)范數(shù)分別是
\sum_{i,j,k=1}^n a_{ik}{a_jk}, \mathrm{and } \sum_{i,j,k=1}^n a_{ki}a_{kj}

一般的結(jié)果是: AA^T, A^TA 有相同的非零特 ...

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5樓2014-08-11 14:33:43

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