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Charlie_Li新蟲 (初入文壇)
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[求助]
一個數(shù)學(xué)不等式的證明題，求交流 已有1人參與
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我已經(jīng)能用三次求導(dǎo)得到答案，但是現(xiàn)在用更簡單的方法去做，比如數(shù)學(xué)歸納法能不能行。 題目：n*3^n>n^3+3^n 當(dāng)且僅當(dāng)n>1時成立 圖.jpg |
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Charlie_Li
新蟲 (初入文壇)
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2樓2014-10-25 09:24:45
hank612
至尊木蟲 (著名寫手)
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3樓2014-10-25 09:36:28
ayismas
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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此題用數(shù)學(xué)歸納法非常容易證明（不用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識），證明步驟如下： 第一步：證明對于任意的n≥3,3^n≥n^3成立 數(shù)學(xué)歸納法： 明顯上面不等式對n=3時成立 假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時亦成立，即3^k-k^3≥0 當(dāng)n=k+1時， 3^(k+1)-(〖k+1)〗^3≥3^(k+1)-(k+k/3)^3 (k≥3) 〖 =3〗^(k+1)-64/27 k^3 ≥3^(k+1)-3k^3 =3(3^k-k^3 )≥0 因此命題得證 下面證明對于任意的n≥2,n3^n>n^3+3^n恒成立 數(shù)學(xué)歸納法證明如下： 計算易知當(dāng)n=2,3時，不等式成立 假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時，不等式亦成立，即(k-1) 3^k-k^3>0 當(dāng)n=k+1時， k3^(k+1)-(k+1)^3 >3^(k+1)-(k+1)^3 ≥0 因此命題得證 即：對于任意的n>1,n3^n>n^3+3^n恒成立 |
4樓2014-10-25 13:34:08
ayismas
木蟲 (正式寫手)
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5樓2014-10-25 13:38:53
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