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大家好，下面有道題，大家?guī)兔ψC明一下，小弟先在此感謝各位了！

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1樓 2014-11-14 18:07:29

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看看下面一個具體的例子：

$f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}$

則有對于 $x>0$ ，恒有 $\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1$
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的，但是我們有

$g(t)=\sup\limits_{0<x<t}f(x)=+\infty$

那么怎么理解表達式：

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{g(tx)}{g(t)}=\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{+\infty}{+\infty}=1?$

無窮與無窮的比不是未定式嗎？怎么排除此種情況？

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2樓2014-11-15 03:03:59

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2樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:03:59
看看下面一個具體的例子：
f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}
則有對于x>0，恒有\(zhòng)lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的，但是我們有
g(t)=\ ...

未定式還是可以比較的, 請看下面的論述:

由于f(x)>0, 所以 $g(t)=sup_{0<x<t} f(x)$ 是單調上升函數. 不妨設x>1, (否則可以考慮 $\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.$ ). 當x>1時,明顯 $\frac{g(xt)}{g(t)}\geq 1$

任給t 與固定的x>1, 設g(tx)=f(T). 如果T<t, 那么 g(tx)=g(t), $\frac{g(xt)}{g(t)} = 1.$

如果 T=t*p,對某個 $1\leq p \leq x$ , 那么由于 $g(t)\geq f(\frac{tp}{x})$ , 有 $\frac{g(xt)}{g(t)}=\frac{f(tp)}{g(t)}\leq\frac{f(tp)}{f(\frac{tp}{x})}\leq sup_{\frac{t}{x}\leq y<\infty} \frac{f(yx)}{f(y)}$

由 $\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{f(xt)}{f(t)}=1$ 以及兩邊夾定理, 知道
$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{g(tx)}{g(t)}=1.$

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zzrqyr

We_must_know. We_will_know.

3樓2014-11-15 03:11:41

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3樓: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式還是可以比較的, 請看下面的論述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是單調上升函數. 不妨設x>1, (否則可以考慮\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 當x>1時,明顯\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

T=tx怎么會小于t，不是假定x>1嗎？

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4樓2014-11-15 03:19:00

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g(tx)=f(T)？上確界一定可達嗎？

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5樓2014-11-15 03:23:42

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5樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:23:42
g(tx)=f(T)？上確界一定可達嗎？...

你說的非常有道理.看來我的證明只對f(x)為 $[0,\infty)$ 上連續(xù)函數成立,

一般情形, 因為已經有了你的反例, 命題不成立.

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6樓2014-11-15 03:40:19

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7樓2014-11-15 18:46:08

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8樓2014-11-15 18:46:47

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你好，這步，如果T<t, 那么 g(tx)=g(t)，你是怎么得到的，謝謝指教！

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9樓2014-11-15 19:54:55

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