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doudou1219

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求助微分方程求解問(wèn)題

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1樓 2015-05-13 22:11:36

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Edstrayer

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【答案】應(yīng)助回帖

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doudou1219: 金幣+10, ★★★★★最佳答案 2015-05-14 08:32:46

$\frac{ydy}{ay+\frac{\sqrt{x}}+c}=\frac{A}{\sqrt{x}}dx$

$ydy=\left(ay+\frac{\sqrt{x}}+c\right)\frac{A}{\sqrt{x}}dx$

$dy=\frac{aA}{\sqrt{x}}dx+\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)\frac{dx}{y}$

然后做變換 $y=2aA\sqrt{x}+z$ ，代入上式就得到：

$\left(2aA\sqrt{x}+z\right)dz=\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)dx$

然后對(duì)上式積分就得到：

$\frac{4}{3}aAx^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}z^2=bA\ln x+2cA\sqrt{x}+C$

在上式中解出z再代入 $y=2aA\sqrt{x}+z$ 就得出了所要求的微分方程的通解，其中C是任意的積分常數(shù)。

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3樓2015-05-14 03:42:25

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feixiaolin

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令u=sqrt(x)
則 dx/sqrt(x)=2du
先求關(guān)于y(u)的方程

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2樓2015-05-13 22:38:42

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doudou1219

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引用回帖:

3樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-05-14 03:42:25
\frac{ydy}{ay+\frac{\sqrt{x}}+c}=\frac{A}{\sqrt{x}}dx
ydy=\left(ay+\frac{\sqrt{x}}+c\right)\frac{A}{\sqrt{x}}dx
dy=\frac{aA}{\sqrt{x}}dx+\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)\frac{dx} ...

專(zhuān)家您好！感謝您的幫助。

由于本人水平有限，尚有一處不明，再次請(qǐng)教。

做y關(guān)于x和z的變化，變換形式的依據(jù)是什么？

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4樓2015-05-14 08:34:19

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Edstrayer

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引用回帖:

4樓: Originally posted by doudou1219 at 2015-05-14 08:34:19
專(zhuān)家您好！感謝您的幫助。

由于本人水平有限，尚有一處不明，再次請(qǐng)教。

做y關(guān)于x和z的變化，變換形式的依據(jù)是什么？...

做變換 $y=2aA\sqrt{x}+z$ 的目的是為了消掉方程中的項(xiàng) $\frac{aA}{\sqrt{x}dx$ ，這是根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)而做的，不同的具體方程所做的變換也不同，與具體方程的結(jié)構(gòu)有關(guān)，需要具體問(wèn)題具體分析。

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5樓2015-05-15 01:43:07

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