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求助微分方程求解問題

謝謝各位大神

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1樓 2015-05-13 22:11:36

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令u=sqrt(x)
則 dx/sqrt(x)=2du
先求關于y(u)的方程

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2樓2015-05-13 22:38:42

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doudou1219: 金幣+10, ★★★★★最佳答案 2015-05-14 08:32:46

$\frac{ydy}{ay+\frac{\sqrt{x}}+c}=\frac{A}{\sqrt{x}}dx$

$ydy=\left(ay+\frac{\sqrt{x}}+c\right)\frac{A}{\sqrt{x}}dx$

$dy=\frac{aA}{\sqrt{x}}dx+\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)\frac{dx}{y}$

然后做變換 $y=2aA\sqrt{x}+z$ ，代入上式就得到：

$\left(2aA\sqrt{x}+z\right)dz=\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)dx$

然后對上式積分就得到：

$\frac{4}{3}aAx^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}z^2=bA\ln x+2cA\sqrt{x}+C$

在上式中解出z再代入 $y=2aA\sqrt{x}+z$ 就得出了所要求的微分方程的通解，其中C是任意的積分常數(shù)。

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3樓2015-05-14 03:42:25

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3樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-05-14 03:42:25
\frac{ydy}{ay+\frac{\sqrt{x}}+c}=\frac{A}{\sqrt{x}}dx
ydy=\left(ay+\frac{\sqrt{x}}+c\right)\frac{A}{\sqrt{x}}dx
dy=\frac{aA}{\sqrt{x}}dx+\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)\frac{dx} ...

專家您好！感謝您的幫助。

由于本人水平有限，尚有一處不明，再次請教。

做y關于x和z的變化，變換形式的依據(jù)是什么？

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4樓2015-05-14 08:34:19

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Edstrayer

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4樓: Originally posted by doudou1219 at 2015-05-14 08:34:19
專家您好！感謝您的幫助。

由于本人水平有限，尚有一處不明，再次請教。

做y關于x和z的變化，變換形式的依據(jù)是什么？...

做變換 $y=2aA\sqrt{x}+z$ 的目的是為了消掉方程中的項 $\frac{aA}{\sqrt{x}dx$ ，這是根據(jù)方程的結構特點而做的，不同的具體方程所做的變換也不同，與具體方程的結構有關，需要具體問題具體分析。

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5樓2015-05-15 01:43:07

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5樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-05-15 01:43:07
做變換y=2aA\sqrt{x}+z的目的是為了消掉方程中的項\frac{aA}{\sqrt{x}dx，這是根據(jù)方程的結構特點而做的，不同的具體方程所做的變換也不同，與具體方程的結構有關，需要具體問題具體分析。...

好的，懂了。
多謝您！

如果再有不懂的，希望還可以得到您的指點。祝好！

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6樓2015-05-15 08:12:44

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peterflyer

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有一點不明白，向專家請教：
從[2*a*A*sqrt(x)+z]*dz進行積分，如何得出它的下面的結果呢：
Integral{[2*a*A*sqrt(x)+z]*dz}
=4/3*a*A*x^(3/2)+1/2*z^2 + C ？？？
你代入原方程驗算過嗎？

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7樓2015-05-15 20:22:36

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7樓: Originally posted by peterflyer at 2015-05-15 20:22:36
有一點不明白，向專家請教：
從*dz進行積分，如何得出它的下面的結果呢：
Integral{*dz}
=4/3*a*A*x^(3/2)+1/2*z^2 + C ？？？
你代入原方程驗算過嗎？...

這是一個錯誤，用你介紹的Z變換能解這個方程嗎？

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8樓2015-05-16 03:02:10

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8樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-05-16 03:02:10
這是一個錯誤，用你介紹的Z變換能解這個方程嗎？...

專家您好，如果您說的那個錯誤果真是個錯誤的話，我這個問題還有解嗎

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9樓2015-05-16 11:11:49

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