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木蟲(chóng) (初入文壇)

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[求助] 解一個(gè)積分方程，結(jié)果里不要有橢圓積分函數(shù)

現(xiàn)在遇到了一個(gè)積分方程，解不出來(lái)，方程見(jiàn)上傳圖片，本人用MATLAB解這個(gè)方程，結(jié)果里面居然含有橢圓積分函數(shù)，由于最終結(jié)果要得到精確解，所以不能含有橢圓積分函數(shù)，愿各位大神賜教。

方程的形式為（a(sin(x))^2+b)^(1/2)在0到pi/2上積分,其中a和b是大于等于0的常量。

IMG_0706.JPG

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1樓 2015-07-08 10:49:00

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hank612

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2樓: Originally posted by hank612 at 2015-07-10 04:15:13
樓主, 你這個(gè)積分就是橢圓積分函數(shù)的定義式啊

做變量替換x=\frac{\pi}{2}-\theta
原積分等于
\sqrt{a+b}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\frac{a}{a+b}\sin^2{x}}
這和 https://en.wikipedia.org/wiki/Elli ...

筆誤:

原積分等于 $\sqrt{a+b}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\frac{a}{a+b}\sin^2{x}}dx$

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3樓2015-07-10 04:17:28

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hank612

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【答案】應(yīng)助回帖

樓主, 你這個(gè)積分就是橢圓積分函數(shù)的定義式啊

做變量替換 $x=\frac{\pi}{2}-\theta$
原積分等于
$\sqrt{a+b}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\frac{a}{a+b}\sin^2{x}}$
這和 https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
"Complete elliptic integral of the second kind" 一節(jié)中的描述完全一樣.

你就把橢圓積分函數(shù)當(dāng)作我們熟悉的三角函數(shù)一樣用, 它的函數(shù)值可以用專業(yè)軟件隨時(shí)給出, 比如, http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%5Bsqrt%5B1-1%2F3*sin%5E2%5Bx%5D%5D%2C%7Bx%2C0%2Cpi%2F2%7D%5D

即 E(1/3)~1.43032

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2樓2015-07-10 04:15:13

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引用回帖:

3樓: Originally posted by hank612 at 2015-07-10 04:17:28
筆誤:

原積分等于\sqrt{a+b}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\frac{a}{a+b}\sin^2{x}}dx...

非常感謝你的回答，不過(guò)我不是要相應(yīng)的軟件算出來(lái)一個(gè)具體的值，我要的是精準(zhǔn)的表達(dá)式，我也知道是橢圓積分函數(shù)，這個(gè)方程你可以解出來(lái)么？最后結(jié)果要是表達(dá)式

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4樓2015-07-20 09:51:47

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