tigou

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[求助] 求給定兩點(diǎn)上任意階導(dǎo)數(shù)都是0的光滑函數(shù) 已有7人參與

設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的光滑函數(shù)，a不等于b，且f(a)不等于f(b)，任給正整數(shù)n都有
$f^{(n)}(a^+)=f^{(n)}(b^-)=0.$
請問這樣的函數(shù)是否存在？如存在請給一個(gè)具體的例子。如不存在如何證明（個(gè)人直覺不存在，但證明不了）。謝謝。

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1樓 2015-09-08 11:44:55

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【答案】應(yīng)助回帖

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f(x)是光滑函數(shù)可能不存在，
如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且在（a,b）上除有限個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)外處處可導(dǎo)，在x=a和x=b點(diǎn)處任意階單側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在且等于零，
這樣的函數(shù)是存在的
例如

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac{1}{x^2}}&x\in[0,1)\\linear&x\in[1,2]\\e^{-\frac{1}{(x-3)^2}}&x\in(2,3]\end{array}\right.$

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6樓2015-09-09 02:17:13

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

可以做成這樣一個(gè)!
不知是否有用,你參考一下!
你把兩個(gè)不等高的直線段光滑拼接一下!

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善惡到頭終有報(bào),人間正道是滄桑.

12樓2015-09-09 08:46:03

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【答案】應(yīng)助回帖

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14樓: Originally posted by tigou at 2015-09-09 10:14:30
這種拼接很可能是無法完成的。也就是說，1樓命題的背后可能隱藏著一個(gè)重要的定理。只不過這個(gè)定理被前人忽略了。發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的起因，是我一直在嘗試把自然數(shù)集上的廣義乘光滑地拓展到非負(fù)實(shí)數(shù)集，但無論如何都做不 ...

找到一個(gè)合符所有要求的函數(shù)之例。如下：

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac{1}{(x-a)^2}-\frac{1}{(x-b)^2}} & x\in(0,1)\\0 & x=a or x=b\end{array}\right.$

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上處處連續(xù)光滑（可導(dǎo)）。
且 $f^{(n)}(a)=f^{(n)}(b)=0(n=0,1,2,\cdots)$

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16樓2015-09-10 01:06:41

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liuqh

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不存在這樣的函數(shù)
由你的題意存在導(dǎo)數(shù)
則f(a)-f(b)=f'(theta)*(a-b)=0,theta為（a,b)間的一個(gè)點(diǎn)
故存在的條件是f(a)=f(b)

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2樓2015-09-08 13:06:50

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2樓: Originally posted by liuqh at 2015-09-08 13:06:50
不存在這樣的函數(shù)
由你的題意存在導(dǎo)數(shù)
則f(a)-f(b)=f'(theta)*(a-b)=0,theta為（a,b)間的一個(gè)點(diǎn)
故存在的條件是f(a)=f(b)

哦理解錯(cuò)了，理解成了兩點(diǎn)間的任意點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0.
如果只是兩點(diǎn)的任意階倒數(shù)為0，這樣的函數(shù)應(yīng)該是存在的

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3樓2015-09-08 13:14:13

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3樓: Originally posted by liuqh at 2015-09-08 13:14:13
哦理解錯(cuò)了，理解成了兩點(diǎn)間的任意點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0.
如果只是兩點(diǎn)的任意階倒數(shù)為0，這樣的函數(shù)應(yīng)該是存在的...

有例子才有說服力。謝謝。

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4樓2015-09-08 13:23:41

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找到實(shí)例的話麻煩指點(diǎn)一下。萬分感謝。

[ 發(fā)自小木蟲客戶端 ]

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5樓2015-09-08 22:25:46

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看如下的函數(shù)例子：

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2}x & x\in[0,1]\\ linear & x\in[1,2]\\\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{(x-3)^2}}+\frac{1}{2}(x-3) & x\in[2,3]\end{array}\right.$

則f(x)在區(qū)間[0,3]上是處處光滑可導(dǎo)的，且 $f'(0+)=f'(3-)=\frac{1}{2},f^{(n)}(0+)=f^{(n)}(3-)=0(n\geqslant 2)$

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7樓2015-09-09 04:09:07

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f=（x-b）ln（x/b）,光滑連接隨意畫了

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8樓2015-09-09 06:32:06

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引用回帖:

7樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-09 04:09:07
看如下的函數(shù)例子：
f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2}x & x\in\\ linear & x\in\\\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{(x-3)^2}}+\frac{1}{2}(x-3) & x\in\end{array} ...

謝謝。但您的例子看不到，提示“invalid equation”。

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9樓2015-09-09 08:29:46

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

大家把問題想復(fù)雜了，任一非常數(shù)的直線f(x)=c x+d(c≠0)，不是都滿足樓主的要求嗎？

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10樓2015-09-09 08:41:45

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