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關(guān)于微分方程的基本定理
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| Sample Text常微分方程 解對(duì)初值與參數(shù)的連續(xù)依賴性，不知道怎么樣用圖形怎么展現(xiàn)？我始終不太理解對(duì)參數(shù)的依賴性這一點(diǎn) 請(qǐng)師兄師姐們指教 |
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jfili
金蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
soliton923: 感謝專家參與討論 2011-12-20 15:47:05
soliton923: 感謝專家參與討論 2011-12-20 15:47:05
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對(duì)方程：y'=f(x,y) 方程解的圖表示由初值點(diǎn)(x0,y0)出發(fā)的一條曲線，此曲線的斜率恰為f(x,y) 問(wèn)題有：解的存在性，由(x0,y0)出發(fā)可以有一條曲線；解的唯一性：出發(fā)的曲線是唯一的；解對(duì)初值的連續(xù)依賴性：如果要從某點(diǎn)出發(fā)后的曲線仍然在原來(lái)曲線的周圍，只需要要求出發(fā)點(diǎn)在原來(lái)的初值點(diǎn)的小領(lǐng)域內(nèi) 解釋課本給的充分條件：如果f(x,y)=g(x)，上述幾個(gè)問(wèn)題也自然得到解決了。如果右邊為f(x,y)，如何來(lái)得到曲線呢？第一步：得到一個(gè)曲線族。即，首先令y=y0,即由右邊為f(x,y0)得到一個(gè)曲線y1(x)（因?yàn)橛叶伺cy無(wú)關(guān)），再由f(x,y1(x))可得到曲線y2(x)，繼續(xù)進(jìn)行下去，所以得到了一個(gè)曲線族{yn(x)}，都過(guò)初值點(diǎn)。第二步：如果yn(x)收斂于y(x)，y'n(x)一致收斂于y'(x)，則只需在y'n=f(x,yn-1)中令n趨于無(wú)窮大即可得到y(tǒng)'=f(x,y)，即得到了解。而我們課本上給的充分條件恰好能使得上面的曲線族收斂 問(wèn)題二：為什么一定要使得解唯一呢？那是因?yàn)槲覀儫o(wú)論用什么數(shù)值解，所得的曲線族都是一定的，而如果沒(méi)有唯一性，我們得到的數(shù)值解就不一定為我們所希望的那個(gè)。 問(wèn)題三、為什么必須要求解要對(duì)初值的連續(xù)依賴呢？（沒(méi)有唯一性當(dāng)然更談不上連續(xù)依賴性的）因?yàn)槲覀兯鶞y(cè)得的初值是有誤差的，如果對(duì)初值很敏感，我們無(wú)論把初值做的多精確、誤差有多小，得到的近似解都可能與原解差別更大的 |
2樓2011-12-20 09:18:08
3樓2011-12-20 21:03:32
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