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關(guān)于微分方程的基本定理
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| Sample Text常微分方程 解對初值與參數(shù)的連續(xù)依賴性，不知道怎么樣用圖形怎么展現(xiàn)？我始終不太理解對參數(shù)的依賴性這一點(diǎn) 請師兄師姐們指教 |
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jfili
金蟲 (正式寫手)
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
soliton923: 感謝專家參與討論 2011-12-20 15:47:05
soliton923: 感謝專家參與討論 2011-12-20 15:47:05
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對方程：y'=f(x,y) 方程解的圖表示由初值點(diǎn)(x0,y0)出發(fā)的一條曲線，此曲線的斜率恰為f(x,y) 問題有：解的存在性，由(x0,y0)出發(fā)可以有一條曲線；解的唯一性：出發(fā)的曲線是唯一的；解對初值的連續(xù)依賴性：如果要從某點(diǎn)出發(fā)后的曲線仍然在原來曲線的周圍，只需要要求出發(fā)點(diǎn)在原來的初值點(diǎn)的小領(lǐng)域內(nèi) 解釋課本給的充分條件：如果f(x,y)=g(x)，上述幾個問題也自然得到解決了。如果右邊為f(x,y)，如何來得到曲線呢？第一步：得到一個曲線族。即，首先令y=y0,即由右邊為f(x,y0)得到一個曲線y1(x)（因?yàn)橛叶伺cy無關(guān)），再由f(x,y1(x))可得到曲線y2(x)，繼續(xù)進(jìn)行下去，所以得到了一個曲線族{yn(x)}，都過初值點(diǎn)。第二步：如果yn(x)收斂于y(x)，y'n(x)一致收斂于y'(x)，則只需在y'n=f(x,yn-1)中令n趨于無窮大即可得到y(tǒng)'=f(x,y)，即得到了解。而我們課本上給的充分條件恰好能使得上面的曲線族收斂 問題二：為什么一定要使得解唯一呢？那是因?yàn)槲覀儫o論用什么數(shù)值解，所得的曲線族都是一定的，而如果沒有唯一性，我們得到的數(shù)值解就不一定為我們所希望的那個。 問題三、為什么必須要求解要對初值的連續(xù)依賴呢？（沒有唯一性當(dāng)然更談不上連續(xù)依賴性的）因?yàn)槲覀兯鶞y得的初值是有誤差的，如果對初值很敏感，我們無論把初值做的多精確、誤差有多小，得到的近似解都可能與原解差別更大的 |
2樓2011-12-20 09:18:08
3樓2011-12-20 21:03:32
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