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[求助] 坐標(biāo)變換和幺正變換已有2人參與

問題: 幺正矩陣的作用相當(dāng)于坐標(biāo)變換, 為什么幺正矩陣的共軛轉(zhuǎn)置就是坐標(biāo)變化的逆變換呢? 當(dāng)然我知道
幺正矩陣的共軛轉(zhuǎn)置就是逆矩陣. 但是我想不明白這個(gè)機(jī)制是怎么回事.

補(bǔ)充1:
在量子力學(xué)中, 幺正變換就是相當(dāng)于坐標(biāo)坐標(biāo)變換. 于是, 我就想到了二維直角坐標(biāo)系xOy通過旋轉(zhuǎn)變換到
x'Oy'. 假如旋轉(zhuǎn)的角度是theta. 那么我們就有如下的關(guān)系

$\left(\begin{array}{ccc} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} cos \theta & sin \theta \\ -sin \theta & cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} x' \\ y' \end{array}\right)$

set
$U=\left(\begin{array}{ccc} cos \theta & sin \theta \\ -sin \theta & cos \theta \end{array}\right)$ ;

then:
$U^TU=\mathbf{1}$

$U^T$ is the transposed matrix; since the elements of $U$ are real numbers, so the transposed matrix should be equivalent to the conjugate transposed matrix $U^\dagger$ in quantum mechanics.

MY QUESTION: Why the inverse transformation is just transposing the matrix $U$ , or Why Changing the basis is an unitary transformation?

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1樓 2014-04-01 14:32:00

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如果在原坐標(biāo)系里有一個(gè)矢量v, 在變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的時(shí)候變成了v'; 那么
$v'=Uv\;\;\;\;(1)$
那么
$U^Tv'=U^TUv\;\;\;\;(2)$
$v^TU^Tv'=v^TU^TUv\;\;\;\;(3)$
對(1)其取轉(zhuǎn)置
$v'^T=v^TU^T\;\;\;\;(4)$
對比一下(3)和(4)
$v'^Tv'=v^TU^TUv\;\;\;\;(5)$
如果坐標(biāo)變化不改變矢量的長度的話, 那么
$v'^Tv'=v^Tv\;\;\;\;(6)$
也就是說
$U^TU=1$
所以不改變矢量長度的變化, 都是幺正的.

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4樓2014-04-01 18:41:50

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★
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ifelseend: 金幣+1 2014-04-01 19:47:08

坐標(biāo)變換一次在做一次逆變換就變回本身了，這就和U乘以U共軛轉(zhuǎn)置等于1一回事。

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2樓2014-04-01 16:58:33

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引用回帖:

2樓: Originally posted by phykid at 2014-04-01 16:58:33
坐標(biāo)變換一次在做一次逆變換就變回本身了，這就和U乘以U共軛轉(zhuǎn)置等于1一回事。

這個(gè)說法我不是很滿意.

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3樓2014-04-01 18:24:35

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

帶個(gè)矩陣算一下就出來了，手機(jī)打不方便

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5樓2014-04-01 22:17:46

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【答案】應(yīng)助回帖

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6樓2014-04-01 22:17:53

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