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yuxi1989銀蟲(chóng) (小有名氣)
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[求助]
為什么對(duì)于對(duì)稱(chēng)方陣，其特征值和奇異值是一樣的？ 已有2人參與
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| RT。主要是看一個(gè)matlab代碼，做PCA。它是把協(xié)方差矩陣作SVD分解，然后把U作為特征向量，S作為特征值了。正常的PCA應(yīng)該是協(xié)方差矩陣求特征值和特征向量。網(wǎng)上查了一下，有說(shuō)法“對(duì)于對(duì)稱(chēng)方陣，其特征值分解和奇異值分解是一樣的？”。想了下，作者可能是根據(jù)這個(gè)來(lái)寫(xiě)的，因?yàn)橄蛄康膮f(xié)方差矩陣是對(duì)稱(chēng)的，而且是方的。可能matlab的SVD比eig快，作者節(jié)約時(shí)間！但是我還是不理解“為什么對(duì)于對(duì)稱(chēng)方陣，其特征值和奇異值是一樣的？”特征值的話，總感覺(jué)是平方的關(guān)系，特征向量組成的矩陣和U的關(guān)系？這個(gè)我就更不明朗了。所以前來(lái)求助。謝謝！ |
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math2000
鐵桿木蟲(chóng) (職業(yè)作家)
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
yuxi1989: 金幣+1, ★★★很有幫助, 謝謝！但貌似真的如上樓所說(shuō)，需要正定的條件。 2014-07-17 19:20:28
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
yuxi1989: 金幣+1, ★★★很有幫助, 謝謝！但貌似真的如上樓所說(shuō)，需要正定的條件。 2014-07-17 19:20:28
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設(shè)A是對(duì)稱(chēng)方陣（考慮實(shí)矩陣，復(fù)的一樣），則A^T（A的轉(zhuǎn)置）=A。 若r是A的特征值，則r的平方是A的平方的特征值，又因?yàn)锳是對(duì)稱(chēng)矩陣，所以r的平方是A乘A的轉(zhuǎn)置的特征值，由A的奇異值定義知 r是A的奇異值。 反之，若r是A的奇異值，即r^2是AA^T的特征值，由上知，r^2是A^2的特征值，即r是A的特征值，所以樓主的結(jié)論是對(duì)的 |
3樓2014-07-15 22:11:49
iamsad
至尊木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)
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2樓2014-07-15 21:36:56
4樓2014-07-16 10:31:24
yuxi1989
銀蟲(chóng) (小有名氣)
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5樓2014-07-17 19:26:14
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