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businiao412金蟲 (正式寫手)
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[求助]
請教一個非線性方程非線性項(xiàng)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的方法 已有2人參與
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RT,樓主近日做振動問題時遇到一個二階非線性微分方程如圖片1，看文獻(xiàn)中其有如下解法:在運(yùn)用攝動法之前，先將其中的非線性項(xiàng)（1-q）3/2運(yùn)用三階最小二乘擬合的方法在區(qū)間1-Q<q<1上進(jìn)行展開如圖片2，及圖片3，請問這是怎么做到的呢？我查了很多資料就是找不到這個方法的出處，本人數(shù)學(xué)知識較為薄弱，望不吝賜教。 圖片1-3如下圖所示： 方程1.png 2.png 3.png [ Last edited by businiao412 on 2014-8-10 at 15:16 ] |
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2樓2014-08-10 16:53:53
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
businiao412: 金幣+15, ★★★★★最佳答案, 衷心感謝您細(xì)致透徹的講解，有種豁然開朗的感覺，我按照您的思路試做一下，有問題再向您請教。 2014-08-11 14:57:17
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businiao412: 金幣+15, ★★★★★最佳答案, 衷心感謝您細(xì)致透徹的講解，有種豁然開朗的感覺，我按照您的思路試做一下，有問題再向您請教。 2014-08-11 14:57:17
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對你的問題理解不是十分準(zhǔn)確。僅僅就我的理解說一下： 攝動法的基本思想是把響應(yīng)q看做多個不同量級的攝動的疊加，即：q(t,ε )=u0(t)+ε*u1(t)+ε ^2*u2(t)+......【1】（多尺度法還要把考慮不同的時間尺度，q(t,ε)=u0(t1,t2,...)+ε*u1(t1,t2,...)+ε ^2*u2(t1,t2,...)+.....），然后把q的近似表達(dá)式【1】代入原方程，通過整理和推導(dǎo)，根據(jù)方程兩邊 小參數(shù) ε 的同次冪系數(shù)相等的條件，把原方程轉(zhuǎn)化為分別關(guān)于u0、u1、u2.....的微分方程，然后分別逐次求得各攝動u0、u1、u2........最后，疊加可得方程q的近似解析解。 這個非線性微分方程的非線性項(xiàng)是（1-q）^3/2，而在運(yùn)用攝動法把式【1】代入原方程中進(jìn)行整理時，由于（1-q）^3/2這一項(xiàng)帶有分?jǐn)?shù)次冪，故【1】代入后其展開是非常困難的，即使展開其中也帶有 ε 的分?jǐn)?shù)次冪項(xiàng)，也就無法利用 ε 的同次冪系數(shù)相等的條件來求解（后面的套路步驟走不下去了）。所以，一般在求解此類非線性微分方程時，用多項(xiàng)式來近似表達(dá)諸如（1-q）^3/2這種難于處理的項(xiàng)，這樣當(dāng)式【1】代入后展開、整理就變得很簡便了。類似的情況如齒輪動力學(xué)理論中，一個主要的非線性因素是齒側(cè)間隙，間隙作用方式用分段函數(shù)來表達(dá)，而分段函數(shù)的存在也給攝動法、多尺度法等的運(yùn)用帶來困難，數(shù)學(xué)上難于展開處理，故也有學(xué)者用多項(xiàng)式來近似這個分段函數(shù)（當(dāng)然還有其它處理方法，這個還要視造成困難的項(xiàng)的具體函數(shù)性質(zhì)）。 這里提前預(yù)估了一個擬合區(qū)間q∈[1-Q, 1]，Why？第一，方程首先要有穩(wěn)態(tài)解；第二，也是為了數(shù)學(xué)處理上的便利性。（1）根據(jù)（1-q）^3/2可知，q必須小于等于1，否則出現(xiàn)復(fù)數(shù)項(xiàng)，方程無穩(wěn)態(tài)解，故已知q的上限；（2）采用多項(xiàng)式來擬合（1-q）^3/2，取多少階合適？我們當(dāng)然是希望階數(shù)越低越好。階數(shù)越高，式【1】代入后的數(shù)學(xué)展開越復(fù)雜繁瑣。根據(jù)數(shù)學(xué)知識易知擬合區(qū)間越小，就可以用越低的階數(shù)來獲得足夠的擬合精度，所以根據(jù)已知條件提前劃定一個盡量小的區(qū)間十分有益和必要。接下來要確定q的下限，其中Q是q所能預(yù)期到的最大的峰值（上限）和谷值（下限）之間的差值（peak-to-peak value，我想這里的Q可以通過數(shù)值求解、實(shí)驗(yàn)或者實(shí)際觀測得到），那么已知q的上限是1，下限自然就是1-Q了。 最后，文中確定用三次多項(xiàng)式來擬合，接著就要確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0、a1、a2、a3。這里采用“最小二乘法”來確定，最小二乘法是一種數(shù)值方法，必須基于已知的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。上面已經(jīng)得到了擬合區(qū)間q∈[1-Q, 1]，那么在這個區(qū)間內(nèi)取一些點(diǎn)，如1-Q, 1-9*Q/10, 1-8*Q/10, 1-7*Q/10, ......, 1，依次代入（1-q）^3/2中，可得相應(yīng)值Q^3/2, (9*Q/10)^3/2, (8*Q/10)^3/2, (7*Q/10)^3/2, ......, 0，已知了函數(shù)（1-q）^3/2的一組自變量和因變量，套用“最小二乘法”的套路解得多項(xiàng)式的系數(shù)a0、a1、a2、a3也就不難了吧？ 總結(jié)，不論是攝動法，還是多項(xiàng)式擬合，都是無限逼近思想的體現(xiàn)。攝動法本身得到的就是方程的無限近似解，因此用多項(xiàng)式無限近似方程中復(fù)雜項(xiàng)也就變得無可厚非了。 PS：周日下午無事，多敲了些廢話，純屬個人見解，限于水平，有誤之處請各位指正。 |
3樓2014-08-10 19:43:10
businiao412
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5樓2014-08-11 15:14:27
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