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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告
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businiao412

金蟲 (正式寫手)

[求助] 請教一個非線性方程非線性項轉(zhuǎn)化為多項式的方法 已有2人參與

RT,樓主近日做振動問題時遇到一個二階非線性微分方程如圖片1，看文獻中其有如下解法:在運用攝動法之前，先將其中的非線性項（1-q）3/2運用三階最小二乘擬合的方法在區(qū)間1-Q<q<1上進行展開如圖片2，及圖片3，請問這是怎么做到的呢？我查了很多資料就是找不到這個方法的出處，本人數(shù)學(xué)知識較為薄弱，望不吝賜教。
圖片1-3如下圖所示：
請教一個非線性方程非線性項轉(zhuǎn)化為多項式的方法
方程1.png


請教一個非線性方程非線性項轉(zhuǎn)化為多項式的方法-1
2.png


請教一個非線性方程非線性項轉(zhuǎn)化為多項式的方法-2
3.png

[ Last edited by businiao412 on 2014-8-10 at 15:16 ]
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)

【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
businiao412: 金幣+15, ★★★★★最佳答案, 衷心感謝您細(xì)致透徹的講解，有種豁然開朗的感覺，我按照您的思路試做一下，有問題再向您請教。 2014-08-11 14:57:17
對你的問題理解不是十分準(zhǔn)確。僅僅就我的理解說一下：
      攝動法的基本思想是把響應(yīng)q看做多個不同量級的攝動的疊加，即：q(t,ε )=u0(t)+ε*u1(t)+ε ^2*u2(t)+......【1】（多尺度法還要把考慮不同的時間尺度，q(t,ε)=u0(t1,t2,...)+ε*u1(t1,t2,...)+ε ^2*u2(t1,t2,...)+.....），然后把q的近似表達式【1】代入原方程，通過整理和推導(dǎo)，根據(jù)方程兩邊 小參數(shù) ε 的同次冪系數(shù)相等的條件，把原方程轉(zhuǎn)化為分別關(guān)于u0、u1、u2.....的微分方程，然后分別逐次求得各攝動u0、u1、u2........最后，疊加可得方程q的近似解析解。
      這個非線性微分方程的非線性項是（1-q）^3/2，而在運用攝動法把式【1】代入原方程中進行整理時，由于（1-q）^3/2這一項帶有分?jǐn)?shù)次冪，故【1】代入后其展開是非常困難的，即使展開其中也帶有 ε 的分?jǐn)?shù)次冪項，也就無法利用 ε 的同次冪系數(shù)相等的條件來求解（后面的套路步驟走不下去了）。所以，一般在求解此類非線性微分方程時，用多項式來近似表達諸如（1-q）^3/2這種難于處理的項，這樣當(dāng)式【1】代入后展開、整理就變得很簡便了。類似的情況如齒輪動力學(xué)理論中，一個主要的非線性因素是齒側(cè)間隙，間隙作用方式用分段函數(shù)來表達，而分段函數(shù)的存在也給攝動法、多尺度法等的運用帶來困難，數(shù)學(xué)上難于展開處理，故也有學(xué)者用多項式來近似這個分段函數(shù)（當(dāng)然還有其它處理方法，這個還要視造成困難的項的具體函數(shù)性質(zhì)）。
      這里提前預(yù)估了一個擬合區(qū)間q∈[1-Q, 1]，Why？第一，方程首先要有穩(wěn)態(tài)解；第二，也是為了數(shù)學(xué)處理上的便利性。（1）根據(jù)（1-q）^3/2可知，q必須小于等于1，否則出現(xiàn)復(fù)數(shù)項，方程無穩(wěn)態(tài)解，故已知q的上限；（2）采用多項式來擬合（1-q）^3/2，取多少階合適？我們當(dāng)然是希望階數(shù)越低越好。階數(shù)越高，式【1】代入后的數(shù)學(xué)展開越復(fù)雜繁瑣。根據(jù)數(shù)學(xué)知識易知擬合區(qū)間越小，就可以用越低的階數(shù)來獲得足夠的擬合精度，所以根據(jù)已知條件提前劃定一個盡量小的區(qū)間十分有益和必要。接下來要確定q的下限，其中Q是q所能預(yù)期到的最大的峰值（上限）和谷值（下限）之間的差值（peak-to-peak value，我想這里的Q可以通過數(shù)值求解、實驗或者實際觀測得到），那么已知q的上限是1，下限自然就是1-Q了。
      最后，文中確定用三次多項式來擬合，接著就要確定多項式的系數(shù)a0、a1、a2、a3。這里采用“最小二乘法”來確定，最小二乘法是一種數(shù)值方法，必須基于已知的數(shù)據(jù)進行擬合。上面已經(jīng)得到了擬合區(qū)間q∈[1-Q, 1]，那么在這個區(qū)間內(nèi)取一些點，如1-Q, 1-9*Q/10, 1-8*Q/10, 1-7*Q/10, ......, 1，依次代入（1-q）^3/2中，可得相應(yīng)值Q^3/2, (9*Q/10)^3/2, (8*Q/10)^3/2, (7*Q/10)^3/2, ......, 0，已知了函數(shù)（1-q）^3/2的一組自變量和因變量，套用“最小二乘法”的套路解得多項式的系數(shù)a0、a1、a2、a3也就不難了吧？
      總結(jié)，不論是攝動法，還是多項式擬合，都是無限逼近思想的體現(xiàn)。攝動法本身得到的就是方程的無限近似解，因此用多項式無限近似方程中復(fù)雜項也就變得無可厚非了。

PS：周日下午無事，多敲了些廢話，純屬個人見解，限于水平，有誤之處請各位指正。
3樓2014-08-10 19:43:10
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herowolf

木蟲 (正式寫手)

【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
(1+x)ⁿ = 1 + n·x/1! + n(n-1)x2/2!  + n(n-1)(n-2)x3/3! + . . . + n(n-1)...(n-k+1)xⁿ/n! + . .

是不是這樣做的？ -x -> x  ,  n ->3/2

third order 只去前三項。
2樓2014-08-10 16:53:53
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)
引用回帖:
4樓: Originally posted by businiao412 at 2014-08-11 14:59:13
十分感謝您細(xì)致的解答，對于數(shù)學(xué)小白的我還有很長的路要走，希望以后不吝賜教。...

我也是小白，只是對這方面稍微熟悉一點，以后多交流，共同進步。
6樓2014-08-11 15:50:17
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feixiaolin

榮譽版主 (文壇精英)

優(yōu)秀版主
建議  
嘗試 4個控制點的里米茲多項式多項式。
7樓2014-08-11 16:08:40
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)
引用回帖:
12樓: Originally posted by businiao412 at 2014-08-13 22:45:37
syms Q
x=;
y=;
P=polyfit(x,y,3)我用這樣的表達式，但是一直出錯，如下信息：
Error using ==> ones
Trailing string input must be a valid numeric class name.

Error in ==> polyfit at 63
V(: ...

那是因為matlab的ones函數(shù)中不支持符號運算，合法的數(shù)據(jù)類包括： 'double', 'single', 'int8', 'uint8', 'int16', 'uint16', 'int32', 'uint32', 'int64', or 'uint64'，不包括符號類：sym（詳見關(guān)于ones函數(shù)的help文件）。matlab的符號運算功能還是比較弱，你可以試試用maple。

由于我沒裝maple，我直接用具體數(shù)值替你做了幾組驗證，證明我說的基本是正確的：
（1）令Q=1，則x=[0,0.1,0.2,......,0.9,1]，對應(yīng)的y=-(1.-x).^(3/2)=[-1,-0.853814968245462,-0.715541752799933,....,0]，p=polyfit(x,y,3)=-0.264788988716828  -0.187032536397084   1.452896005112752  -0.998323698149733，根據(jù)論文知：
a3=-8/(33*Q^(3/2))=-0.242424242424242；
a2=-(72*Q-56)/(77*Q^(3/2))=-0.207792207792208；
a1=(24*Q^2+144*Q-56)/(77*Q^(3/2))=1.454545454545455；
a0=(8*Q^3-360*Q^2-1080*Q+280)/(1155*Q^(3/2))=-0.997402597402597；

（2）令Q=0.5，則x=[0.5,0.55,0.6,......,1]，對應(yīng)的y=-(1.-x).^(3/2)=[-0.3535,-0.3018,-0.2529,......,-0.0111,0]，p=polyfit(x,y,3)=-0.748936358020765   0.858900587453328   0.730154298636324  -0.839145979819353，則
a3=-8/(33*Q^(3/2))=-0.685679302968773；
a2=-(72*Q-56)/(77*Q^(3/2))=0.734656396037972；
a1=(24*Q^2+144*Q-56)/(77*Q^(3/2))=0.808122035641769；
a0=(8*Q^3-360*Q^2-1080*Q+280)/(1155*Q^(3/2))=-0.854650274057507；

結(jié)論：可見在區(qū)間[1-Q,1]內(nèi)取點進行擬合得到的多項式系數(shù)a3,a2,a1,a0的值與利用論文中a3,a2,a1,a0公式得到的數(shù)值是能夠?qū)ι系摹Ｖ虚g有些誤差，主要原因一是取點的疏密對擬合精度有影響；二是論文中得到的表達式也是近似的。
13樓2014-08-14 01:43:25
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)
內(nèi)容已刪除
15樓2014-08-14 01:55:19
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)
引用回帖:
18樓: Originally posted by businiao412 at 2014-08-14 02:40:30
您解答的太給力了，再次表示感謝，您用數(shù)據(jù)驗證了文獻的方法的正確性，希望能夠用您說的解方程組的形式解出來，不過我心里也有同樣的疑問，解出來的結(jié)果會不會跟去的數(shù)值點的大小跟疏密有關(guān)系？...

解方程組的方法應(yīng)該和點取多少沒關(guān)系，四個未知量，湊夠四個方程就行。我試了一下：取x=[1-Q,1-6*Q/10,1-3*Q/10,1]，y=[-Q^(3/2),-(6*Q/10)^(3/2),-(3*Q/10)^(3/2),0]，
X=[x(1)^3,x(1)^2,x(1),1;
      x(2)^3,x(2)^2,x(2),1;
      x(3)^3,x(3)^2,x(3),1;
      x(4)^3,x(4)^2,x(4),1;]
a=inv(X)*y'
=25/7/Q^3*conj(Q^(3/2))-5/3/Q^3*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))+10/21/Q^3*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))
   15/14/Q^3*(-10+3*Q)*conj(Q^(3/2))-1/6/Q^3*(-30+13*Q)*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))+2/21/Q^3*(-15+8*Q)*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))
   3/14/Q^3*(50-30*Q+3*Q^2)*conj(Q^(3/2))-1/6/Q^3*(30-26*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))+2/21/Q^3*(15-16*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))
   -1/14/Q^3*(50-45*Q+9*Q^2)*conj(Q^(3/2))+1/6/Q^3*(10-13*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))-2/21/Q^3*(5-8*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))

根據(jù)論文知道Q必然大于0，所以conj(Q^(3/2))=Q^(3/2)，這樣整理符號運算所得第一項：a3=(25/7-5*sqrt(15)/3+10*sqrt(30)/21)/Q^(3/2)=-0.2753/Q^(3/2)≈  -8/(33*Q^(3/2))，其它不再逐一整理。符號運算得到的a3表達式和論文中還是有誤差，這應(yīng)該是matlab矩陣求逆算法的誤差造成的。四元一次方程組應(yīng)該也不難解，如果手工解是不是應(yīng)該完全精準(zhǔn)？
19樓2014-08-14 14:27:18
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)
我用最小二乘法做了一下：
syms Q
x=[1-Q:0.001*Q:1];
y=-(1.-x).^(3/2);
N=length(x);
syms A
for n=1:N
       for m=1:4
           A(m,n)=x(n)^(m-1);
       end
end
a=(A*A')\(A*y');
其中a(1)=a0;  a(2)=a1; a(3)=a2; a(4)=a3;然后得到很長很長很長一串a(chǎn)關(guān)于Q的表達式，人工化簡基本不可能了.............然后用eval函數(shù)化簡最簡單的 a3 項，得
eval(a(4))=-1230776300378990335736947704895/5070602400912917605986812821504/conj(Q)^3*conj(Q^(3/2))= -0.2427/Q^(3/2)= -8/(33*Q^(3/2))
但是其它幾項太復(fù)雜了，化簡不動.........
29樓2014-08-14 19:03:52
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)
把取點密度減小：x=[1-Q:0.1*Q:1]; 可得：
eval(a(4))=-23980501898594795/90564573756653568/conj(Q)^3*conj(Q^(3/2))
             =-0.2648/Q^(3/2);
eval(a(3))=-1/1716*conj(Q^(3/2))*(-2997562737324347/2199023255552-12000*conj(Q)-500*conj(Q)*2^(1/2)+3008*conj(Q)*5^(1/2)+1116*conj(Q)*10^(1/2)+721*conj(Q)*7^(1/2)*10^(1/2)-704*conj(Q)*2^(1/2)*5^(1/2)-381*conj(Q)*3^(1/2)*10^(1/2)+624*conj(Q)*3^(1/2)*5^(1/2))/conj(Q)^3
             =-(1.6841e+003*Q-1.3631e+003)/(1716*Q^(3/2))
             =-(0.9814*Q-0.7943)/Q^(3/2) ≈ -(72*Q-56)/(77*Q^(3/2))

后面實在整不動了，說明最小二乘可定是可行的，但是這個論文作者采用何等手段獲得如此整齊精準(zhǔn)的表達式呢？
30樓2014-08-14 19:28:03
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普通回帖

businiao412

金蟲 (正式寫手)
引用回帖:
3樓: Originally posted by guojiashun at 2014-08-10 19:43:10
對你的問題理解不是十分準(zhǔn)確。僅僅就我的理解說一下：
      攝動法的基本思想是把響應(yīng)q看做多個不同量級的攝動的疊加，即：q(t,ε )=u0(t)+ε*u1(t)+ε ^2*u2(t)+......【1】（多尺度法還要把考慮不同的時間尺度， ...

十分感謝您細(xì)致的解答，對于數(shù)學(xué)小白的我還有很長的路要走，希望以后不吝賜教。
4樓2014-08-11 14:59:13
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businiao412

金蟲 (正式寫手)
引用回帖:
2樓: Originally posted by herowolf at 2014-08-10 16:53:53
(1+x)ⁿ = 1 + n·x/1! + n(n-1)x2/2!  + n(n-1)(n-2)x3/3! + . . . + n(n-1)...(n-k+1)xⁿ/n! + . .

是不是這樣做的？ -x -> x  ,  n ->3/2

third order 只去前三項。

謝謝您熱心回復(fù)，您說的這個我考慮了，跟文章中的不太一樣，再次感謝。
5樓2014-08-11 15:14:27
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businiao412

金蟲 (正式寫手)
引用回帖:
6樓: Originally posted by guojiashun at 2014-08-11 15:50:17
我也是小白，只是對這方面稍微熟悉一點，以后多交流，共同進步。...

好的，多交流，多向您學(xué)習(xí)。
8樓2014-08-11 16:33:54
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businiao412

金蟲 (正式寫手)
引用回帖:
3樓: Originally posted by guojiashun at 2014-08-10 19:43:10
對你的問題理解不是十分準(zhǔn)確。僅僅就我的理解說一下：
      攝動法的基本思想是把響應(yīng)q看做多個不同量級的攝動的疊加，即：q(t,ε )=u0(t)+ε*u1(t)+ε ^2*u2(t)+......【1】（多尺度法還要把考慮不同的時間尺度， ...

再請教您一下，因為不能確定Q的取值，在用matlab擬合過程中，已知參量能否包含Q，寫成這樣x=[1-Q,1-0.9*Q,1-0.8*Q....],y=[Q^3/2,(0.9)^3/2,(0.8*Q)3/2...]？
9樓2014-08-13 11:34:35
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guojiashun

鐵桿木蟲 (正式寫手)
引用回帖:
9樓: Originally posted by businiao412 at 2014-08-13 11:34:35
再請教您一下，因為不能確定Q的取值，在用matlab擬合過程中，已知參量能否包含Q，寫成這樣x=,y=？...

可以，matlab有符號運算，或者用maple也可以。
10樓2014-08-13 16:23:32
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