aaron7

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[求助] 數(shù)列通項(xiàng)公式的問題已有2人參與

求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題：
第n項(xiàng)等于前六項(xiàng)的均值：
x(n)={x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)x(n-5)+x(n-6)}/6
并且滿足如下條件：
x(0)=1,x(-1)=x(-2)=...x(-6)=0

請(qǐng)問如何用z變換怎么求出通項(xiàng)公式？或者其他方法也可以

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1樓 2014-09-17 19:24:53

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feixiaolin

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

x(n)<-------------->X(z)
x(n-1)<-------------->z^(-1)*X(z)-z(0)
x(n-m)<-------------->z^(-m)*X(z)-……
整理，做逆向 z 變換，即可。

參見附圖

zt.PNG

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2樓2014-09-17 19:34:41

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Edstrayer

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問題要修正：數(shù)列 $\{x_n\}$ 滿足：

$x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}+x_{n-4}+x_{n-5}+x_{n-6}}{6}$

$x_0=1,x_{-1}=x_{-2}=x_{-3}=x_{-4}=x_{-5}=x_{-6}=0$

這里n=0時(shí)初值就不滿足遞推關(guān)系。
所以要修改初始值。

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3樓2014-09-17 23:47:18

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aaron7

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3樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-09-17 23:47:18
問題要修正：數(shù)列\(zhòng){x_n\}滿足：
x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}+x_{n-4}+x_{n-5}+x_{n-6}}{6}
x_0=1,x_{-1}=x_{-2}=x_{-3}=x_{-4}=x_{-5}=x_{-6}=0
這里n=0時(shí)初值就不滿足遞推關(guān)系。
所以要修改初始值。...

對(duì)，您說的很正確！在這個(gè)題里面還要加上n>=1這個(gè)條件！

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4樓2014-09-18 00:05:56

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-09-17 19:34:41
x(n)<-------------->X(z)
x(n-1)<-------------->z^(-1)*X(z)-z(0)
x(n-m)<-------------->z^(-m)*X(z)-……
整理，做逆向 z 變換，即可。

參見附圖

zt.PNG
...

非常感謝您的回復(fù)！這步驟我想到了，但是如何逆變換回去呢？

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5樓2014-09-18 00:07:04

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

可以試試?yán)锰卣鞣匠谭ㄇ蠼猓河蛇f推關(guān)系可以得到如下的特征方程：

$y^6=\frac{y^5+y^4+y^3+y^2+y+1}{6}$

解此一元六次方程得其根為 $y_i(i=1,2,3,4,5,6)$ ，于是得到遞推關(guān)系的通解為：

$x_n=\sum\limits_{i=1}^6c_iy_i^n$

其中 $c_i(i=1,2,3,4,5,6)$ 為未知的待定系數(shù)。
然后利用初值解出待定系數(shù) $c_i$ 即可求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。
不過求特征根可能比較麻煩，畢竟一元五次以上的方程沒有公式解，需要很強(qiáng)的技巧。

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6樓2014-09-18 00:21:56

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5樓: Originally posted by aaron7 at 2014-09-18 00:07:04
非常感謝您的回復(fù)！這步驟我想到了，但是如何逆變換回去呢？...

http://wenku.baidu.com/view/554fe01bc281e53a5802ff20.html

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7樓2014-09-18 07:23:26

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7樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-09-18 07:23:26
http://wenku.baidu.com/view/554fe01bc281e53a5802ff20.html...

非常感謝你的鏈接！但是按照您圖片里的方法，將x(n)={x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)+x(n-5)+x(n-6)}/6兩側(cè)進(jìn)行z變換的話，會(huì)把f(z)在兩側(cè)消掉（因?yàn)閒(-1)...f(-6)都是0）。。。

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8樓2014-09-18 10:46:07

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引用回帖:

8樓: Originally posted by aaron7 at 2014-09-18 10:46:07
非常感謝你的鏈接！但是按照您圖片里的方法，將x(n)={x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)+x(n-5)+x(n-6)}/6兩側(cè)進(jìn)行z變換的話，會(huì)把f(z)在兩側(cè)消掉（因?yàn)閒(-1)...f(-6)都是0）。。。...

1=0?
檢查下初始條件。

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9樓2014-09-18 13:49:19

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