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lixuemei201新蟲 (小有名氣)
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[求助]
線性相關(guān)問題 已有1人參與
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把實數(shù)域R看成有理數(shù)域Q上的線性空間，b=p^3*q^2*r, p.q.r 是互不相同的素數(shù)，判斷向量組1,b^（1/n），b^（2/n）, .....,b^（（n-1）/n）是否線性相關(guān). 答案是線性無關(guān)，怎么證明。。想不到 [ 發(fā)自手機版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
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hank612
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
lixuemei201: 金幣+5, ★★★很有幫助, 謝謝 2014-10-15 15:21:39
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你用http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion Eisenstein不可約判定法則, 很容易看出 f(x)=x^n-p^3*q^2*r是有理數(shù)域上不可約多項式 (因為r是素數(shù), p,q與r互素). 考慮元素 a=b^{1/n}, 那么a在Q上的極小多項式就是f(x), 次數(shù)就是n, 即 域擴張Q[a]/Q次數(shù)為n. 顯然你列的向量組可以張成整個Q[a], 從而其秩(rank)大于等于n. 可總共就n個向量, 因此只能滿秩, 即Q線性無關(guān). |
2樓2014-10-15 04:38:25
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