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[求助] 請問下列方程的卷積積分，該如何求？已有2人參與

如附件所示

可以采用什么方法積分出來呢？

請教數(shù)學(xué)系的各位前輩
謝謝！

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1樓 2014-10-18 12:11:04

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mathstudy

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

借助于積分變換來做吧，試試Laplace變換把卷積變成兩個(gè)像函數(shù)的乘積....

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3樓2014-10-18 17:19:57

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peterflyer

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冷冰hh: 金幣+10, ★★★很有幫助, 很感謝你的幫助，想得到卷積表述成關(guān)于εf(x)的函數(shù) 2014-10-18 18:11:23

將積分號里的三角函數(shù)展開，得到：
Sinx*εf(x)=Sinx*Integral{εf(τ)*Cosτ*dτ,0,x}-Cosx*Integral{εf(τ)*Sinτ*dτ,0,x}
將上式連求兩階導(dǎo)數(shù)，并將上式帶入導(dǎo)求導(dǎo)后的式子中，得到：
y''(x)+2/tgx*y'(x)-1/Sinx*y=0
這是個(gè)二階非線性常微分方程。若能求解它，就得到原方程的解了。不過我不會解，只能幫樓主到這兒了。

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4樓2014-10-18 17:36:03

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feixiaolin

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ε(x)是階躍函數(shù)step function的話，f(x)*ε(x)= f^(-1)(x)，即f(x)的積分

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2樓2014-10-18 14:10:48

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冷冰hh

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3樓: Originally posted by mathstudy at 2014-10-18 17:19:57
借助于積分變換來做吧，試試Laplace變換把卷積變成兩個(gè)像函數(shù)的乘積....

可否將該卷積積分，表述成εf(x)的函數(shù)呢

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5樓2014-10-18 18:09:08

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-10-18 14:10:48
ε(x)是階躍函數(shù)step function的話，f(x)*ε(x)= f^(-1)(x)，即f(x)的積分

版主，你是數(shù)學(xué)專業(yè)的么
請問本論文是否有數(shù)學(xué)比較厲害的人呢

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6樓2014-10-18 18:45:59

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feixiaolin

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6樓: Originally posted by 冷冰hh at 2014-10-18 18:45:59
版主，你是數(shù)學(xué)專業(yè)的么
請問本論文是否有數(shù)學(xué)比較厲害的人呢...

我學(xué)過一點(diǎn)數(shù)學(xué)。
建議你對εf(x)做一個(gè)細(xì)致的描述

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7樓2014-10-18 20:16:01

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7樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-10-18 20:16:01
我學(xué)過一點(diǎn)數(shù)學(xué)。
建議你對εf(x)做一個(gè)細(xì)致的描述...

好吧，這個(gè)是應(yīng)變，應(yīng)變隨x變化

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8樓2014-10-19 09:24:56

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如果 $\varepsilon_f(x)=\sum\limits_{i=0}^nx^i$ 是一個(gè)n次多項(xiàng)式的話，可以用分部積分的技巧將卷積積出來：

$\sin x*\varepsilon_f(x)=\int_0^x\varepsilon_f(\tau)\sin(x-\tau)d\tau=?$

這只要建立下面積分的遞推關(guān)系：設(shè)

$I_n(x)=\int_0^xt^n\sin tdt=?,J_n(x)=\int_0^xt^n\cos tdt=?$

則有：

$\left\{\begin{array}{c}I_n=-x^n\cos x+nJ_{n-1}\\J_n=x^n\sin x-nI_{n-1}\\I_0=1-\cos x,J_0=\sin x\end{array}\right.$

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

9樓2014-10-19 09:57:00

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9樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-19 09:57:00
如果\varepsilon_f(x)=\sum\limits_{i=0}^nx^i是一個(gè)n次多項(xiàng)式的話，可以用分部積分的技巧將卷積積出來：
\sin x*\varepsilon_f(x)=\int_0^x\varepsilon_f(\tau)\sin(x-\tau)d\tau=?
這只要建立下面積分的遞推關(guān)系 ...

謝謝樓主給出的建議算法，不好意思，我這里的問題沒描述完，其實(shí)，希望卷積積分的積分結(jié)果是包含要εf(x)項(xiàng)的
最終我想得到的，如附件圖片所示

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10樓2014-10-19 11:26:33

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