wangchunyong

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[求助] 尋找某個函數(shù)，使其滿足兩個等式約束（新帖）已有3人參與

尋找某個函數(shù)，使其滿足兩個等式約束（請看附件）

尋找函數(shù).jpg

[ Last edited by feixiaolin on 2014-10-8 at 19:39 ]

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逆水行舟，不進(jìn)則退

1樓 2014-10-08 18:28:08

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柳清

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

前一個貼子，我已經(jīng)證明了，必須R=0時，才有滿足條件（1）（2）的函數(shù)存在。其它情況，這樣的函數(shù)是不存在的！請認(rèn)真看看，我的分析過程！好嗎！

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Blow-up

2樓2014-10-08 20:41:19

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Pchief

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第二個條件改成 $t \to 0$ 了。這一來，相當(dāng)于說函數(shù) $t \varphi(t)$ 在原點附近大約跟 $\frac{3R\ln t}{2}$ 的表現(xiàn)類似，而當(dāng) $t \to \infty$ 時必須存在極限。這個只要搞個分段函數(shù)平滑過渡一下就可以了。

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3樓2014-10-08 21:27:22

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peterflyer

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peterflyer

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

在無窮大處，φ(t)有如下形式：φ(t)=u0/t ；在t=0處，φ(t)有如下形式：φ(t)=[C+3*R/2*Lnt]/t，其中C為任意常數(shù)。如此看來找不到一個統(tǒng)一的函數(shù)表達(dá)式了，只能分段表示了。要求在t≥M時φ(t)≈u0/t （這里M為某個足夠大的實數(shù)）；而在ABS(t)≤ε時φ(t)≈[C+3*R/2*Lnt]/t，這里，為某個足夠小的實數(shù)。

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4樓2014-10-08 22:25:02

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柳清

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引用回帖:

2樓: Originally posted by 柳清 at 2014-10-08 20:41:19
前一個貼子，我已經(jīng)證明了，必須R=0時，才有滿足條件（1）（2）的函數(shù)存在。其它情況，這樣的函數(shù)是不存在的！請認(rèn)真看看，我的分析過程！好嗎！

對不起！看錯了，第2個極限過程是自變量趨于0

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Blow-up

5樓2014-10-08 23:12:01

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柳清

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【答案】應(yīng)助回帖

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wangchunyong(feixiaolin代發(fā)): 金幣+5 2014-10-10 20:59:57

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Blow-up

6樓2014-10-09 08:44:35

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Edstrayer

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

這里給出另外一個構(gòu)造：令

$\varphi(t)=\frac{u_0}{t}+\frac{\alpha}{t^2e^t}$

這里 $\alpha$ 是待定常數(shù)。
則有：

$t\varphi(t)=u_0+\frac{\alpha}{te^t}$

從而就有：

$\lim\limits_{t\to+\infty}t\varphi(t)=u_0$

再者有：

$\varphi '(t)=-\frac{u_0}{t^2}-\frac{\alpha}{t^3e^t}-\frac{\alpha}{t^2e^t}$

所以就有：

$\varphi(t)+t\varphi '(t)=\frac{\alpha}{te^t}$

因此得到：

$\lim\limits_{t\to 0}t[\varphi(t)+t\varphi '(t)]=\alpha$

所以，最后令 $\alpha=\frac{3R}{2}$ 就得到所要構(gòu)造的函數(shù)：

$\varphi(t)=\frac{u_0}{t}+\frac{\frac{3R}{2}}{t^2e^t}$

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

7樓2014-10-09 11:00:06

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引用回帖:

7樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-09 11:00:06
這里給出另外一個構(gòu)造：令
\varphi(t)=\frac{u_0}{t}+\frac{\alpha}{t^2e^t}
這里\alpha是待定常數(shù)。
則有：
t\varphi(t)=u_0+\frac{\alpha}{te^t}
從而就有：
\lim\limits_{t\to+\infty}t\varphi(t)=u_0
再 ...

算錯了。第二個式子兩邊求導(dǎo)，得到的結(jié)果和第五個式子矛盾。

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8樓2014-10-09 16:10:48

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wangchunyong(feixiaolin代發(fā)): 金幣+5 2014-10-10 21:00:15

搞錯了，修正如下：構(gòu)造 $\varphi(t)$ 取

$\varphi(t)=\frac{u_0}{t}+\frac{\alpha}{t}\ln\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$

其中 $\alpha=\frac{3R}{2}$ 。則有：

$t\varphi(t)=u_0+\alpha\ln\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$

所以，得到：

$\lim\limits_{t\to+\infty}t\varphi(t)=u_0$

又因為對第二式求導(dǎo)就有：

$\varphi(t)+t\varphi '(t)=\frac{\alpha}{t(1+t^2)}$

于是就有：

$t[\varphi(t)+t\varphi '(t)]=\frac{\alpha}{1+t^2}\to\alpha=\frac{3R}{2}(t\to 0)$

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9樓2014-10-09 16:54:24

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