冷冰hh

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[求助] 請(qǐng)教前輩：該二元二階微分方程組中的兩個(gè)變量的表達(dá)式如何求呢？已有2人參與

請(qǐng)教數(shù)學(xué)及力學(xué)系前輩：該二元二階微分方程組中的兩個(gè)位移變量uf和um的表達(dá)式，如何求解呢？
根據(jù)這兩個(gè)方程，是否可以寫出其通解表達(dá)式呢
勞煩知道的前輩幫忙求解一下，謝謝！很感謝！

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1樓 2015-01-24 00:51:36

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
冷冰hh: 金幣+5, ★★★很有幫助 2015-01-24 13:37:00

首先，令 $u_f=f(x),u_m=g(x)$ ，將方程組改寫成：

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d^2f}{dx^2}+Af+Bg=0\\\frac{d^2g}{dx^2}+Cg+Df=0\end{array}\right.$

如果B=0，則解二階常微分方程：

$\frac{d^2f}{dx^2}+Af=0$

這可以利用特征根法求解。
如果B不等于零，則有：

$g=-\frac{1}{B}\frac{d^2f}{dx^2}-\frac{A}{B}f$

代入第二個(gè)方程得到：

$\frac{d^4f}{dx^4}+(A+C)\frac{d^2f}{dx^2}+(AC-BD)f=0$

這也可以利用特征根法求解，其歸結(jié)為一元三次方程

$r^3+(A+C)r+(AC-BD)=0$

的求解。

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2樓2015-01-24 05:27:10

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【答案】應(yīng)助回帖

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冷冰hh: 金幣+5, ★★★很有幫助, 很感謝你啦 2015-01-24 13:37:18

有兩種方法可解此題。
1、由（1）式解得用uf表達(dá)的um，再代入（2），獲得一個(gè)形如
d^4uf/dx^4+(A+C)*d^2uf/dx^2+(A-B*D)*uf=0的線性方程，由特征根法先解得d^2uf/dx^2,然后再連積分兩次獲得uf，進(jìn)而獲得um。
2、用拉氏變換求解，獲得含uf(0)、uf'(0)、um(0)、um'(0)參數(shù)的以u(píng)f和um的拉氏變換U、V為變量的二元一次方程。求得U 、V 后再求反變換得到uf、um。

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3樓2015-01-24 07:48:29

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終之太刀—曉

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Lz可否告知系數(shù)A,B,C,D的具體數(shù)值，以及方程的定解條件？

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4樓2015-01-24 18:23:31

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冷冰hh

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4樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2015-01-24 18:23:31
Lz可否告知系數(shù)A,B,C,D的具體數(shù)值，以及方程的定解條件？

A\B\C\D均為正的常系數(shù)，邊界條件是嗎
uf(0)=um(0)=0
uf‘(L)=uf'(-L)=0
這是附加條件

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5樓2015-01-25 13:46:25

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5樓: Originally posted by 冷冰hh at 2015-01-25 13:46:25
A\B\C\D均為正的常系數(shù)，邊界條件是嗎
uf(0)=um(0)=0
uf‘(L)=uf'(-L)=0
這是附加條件...

A,B,C,D沒有具體數(shù)值，比如說A=2之類的？

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6樓2015-01-25 15:05:06

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6樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2015-01-25 15:05:06
A,B,C,D沒有具體數(shù)值，比如說A=2之類的？...

這個(gè)，都是正的、常實(shí)數(shù)，因?yàn)锳BCD是一些材料參數(shù)組成的，現(xiàn)在還沒代入具體的材料
是想求出一種普遍的解

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7樓2015-01-25 16:30:48

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3樓: Originally posted by peterflyer at 2015-01-24 07:48:29
有兩種方法可解此題。
1、由（1）式解得用uf表達(dá)的um，再代入（2），獲得一個(gè)形如
d^4uf/dx^4+(A+C)*d^2uf/dx^2+(A-B*D)*uf=0的線性方程，由特征根法先解得d^2uf/dx^2,然后再連積分兩次獲得uf，進(jìn)而獲得um。
2、 ...

您好：按照您提供的第二種方法，我做到了這一步
能否幫忙看看，這樣對(duì)嗎？
還有，最后的多項(xiàng)式分解該如何分解呢？
不好意思呢，數(shù)學(xué)知識(shí)有點(diǎn)陌生，打擾啦
很感謝！

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附件 1 : 拉氏變換解法.doc

2015-01-25 17:10:07, 34 K

8樓2015-01-25 17:10:10

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feixiaolin

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8樓: Originally posted by 冷冰hh at 2015-01-25 17:10:10
您好：按照您提供的第二種方法，我做到了這一步
能否幫忙看看，這樣對(duì)嗎？
還有，最后的多項(xiàng)式分解該如何分解呢？
不好意思呢，數(shù)學(xué)知識(shí)有點(diǎn)陌生，打擾啦
很感謝！...

令分母=0，得到四個(gè)根，如a1，a2，a3，a4；
然后，部分分式展開，寫成如下形式
k1/(s-a1)+k2/(s-a2)+k3/(s-a3)+k4/(s-a4)
最后做反變換
=k1*exp(a1*t)+k2*exp(a2*t)+k3*exp(a3*t)+k4*exp(a4*t)

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9樓2015-01-25 17:33:39

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9樓: Originally posted by feixiaolin at 2015-01-25 17:33:39
令分母=0，得到四個(gè)根，如a1，a2，a3，a4；
然后，部分分式展開，寫成如下形式
k1/(s-a1)+k2/(s-a2)+k3/(s-a3)+k4/(s-a4)
最后做反變換
=k1*exp(a1*t)+k2*exp(a2*t)+k3*exp(a3*t)+k4*exp(a4*t)...

好的，謝謝！

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10樓2015-01-25 19:01:29

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