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[求助] 書中計(jì)算式推導(dǎo)求助01

書中計(jì)算式推導(dǎo)求助：

這個(gè)式子是怎么推導(dǎo)出來的？
求大神解答
不勝感激

[ Last edited by feixiaolin on 2015-2-18 at 01:17 ]

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1樓 2015-02-18 00:53:57

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mjx150(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2015-02-18 18:29:57

化成級(jí)數(shù)計(jì)算，利用級(jí)數(shù)

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$

即可得到所要證明的結(jié)果。

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3樓2015-02-18 03:35:14

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mjx150(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2015-02-18 18:30:09

引用回帖:

5樓: Originally posted by mjx150 at 2015-02-18 11:05:41
能給個(gè)詳細(xì)過程嗎？
...

Edstrayer 的提示相當(dāng)?shù)轿话　?br />
(1) $\frac{e^x}{(e^x-1)^2}=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$ , 而當(dāng)|z|<1時(shí)，有 $\frac{z}{(z-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty} nz^n$

(2)分部積分，有 $\int x^4e^{-nx} dx=\frac{e^{-nx}}{n^5}((nx)^4+4(nx)^3+12(nx)^2+24nx+24) +C$

(3) $\int_{0}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} x^4\cdot ne^{-nx}dx =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{24}{n^4}=\frac{4\pi^4}{15}$

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We_must_know. We_will_know.

6樓2015-02-18 12:12:21

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feixiaolin: 金幣+5 2015-02-19 11:31:10

引用回帖:

7樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2015-02-19 00:36:53
如果x^4改為x^3，答案又是什么？

$\int_0^{+\infty}\frac{x^3e^x}{(e^x-1)^2}dx=6\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$

而 $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}=？$ 目前只知道其和是一個(gè)無理數(shù)，至于和的封閉表達(dá)式還不清楚。

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9樓2015-02-19 01:53:19

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被積式是： x^4*exp(x)/[exp(x)-1]^2 嗎？
圖片不太清楚

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2樓2015-02-18 01:22:10

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2015-02-18 01:22:10
被積式是： x^4*exp(x)/^2 嗎？
圖片不太清楚

是的

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4樓2015-02-18 11:05:21

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3樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-02-18 03:35:14
化成級(jí)數(shù)計(jì)算，利用級(jí)數(shù)
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}
即可得到所要證明的結(jié)果。

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5樓2015-02-18 11:05:41

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如果x^4改為x^3，答案又是什么？

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6樓: Originally posted by hank612 at 2015-02-18 12:12:21
Edstrayer 的提示相當(dāng)?shù)轿话　?br />
(1) \frac{e^x}{(e^x-1)^2}=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}, 而當(dāng)|z|<1時(shí)，有 \frac{z}{(z-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty} nz^n

(2)分部積分，有 \int x^4e^{-nx} dx=\frac{e^{-n ...

厲害！

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8樓2015-02-19 00:45:52

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可否嘗試構(gòu)造合適的閉合曲線，使用留數(shù)定理求解？

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10樓2015-02-19 03:30:47

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