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連續(xù)函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)＜g(x)，是否總存在光滑函數(shù)h(x)滿足f(x)＜h(x)＜g(x)？ 已有10人參與
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連續(xù)函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)＜g(x)，是否總存在光滑函數(shù)h(x)滿足f(x)＜h(x)＜g(x)？ [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
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dfdx: 金幣+4 2015-09-09 08:11:37
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dfdx: 金幣+4 2015-09-09 08:11:37
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I think should be correct. First. Function k=(f+g)/2 is between f and g. If k is smooth, then done. Otherwise, take the convolution of k with a mollifier function. Then that function is smooth [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
2樓2015-09-09 04:20:50
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小木蟲(chóng): 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
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樓主，我想問(wèn)一下你說(shuō)的光滑是各階導(dǎo)數(shù)都有嗎？如果是這個(gè)定義的話，你說(shuō)的命題是不對(duì)的,其實(shí)把光滑改成可導(dǎo)也是不對(duì)的。我有反例。f(x)=-1;g(x)是分段函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)取值為0；但x不等于0時(shí)取值為[x^(1/3)]sin(1/x)的絕對(duì)值。你可以用連續(xù)的定義驗(yàn)證這兩個(gè)函數(shù)都是連續(xù)的且f(x)<g(x)。任取一個(gè)函數(shù)h(x) 滿足f(x)<h(x)<g(x), 用單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義考慮，會(huì)發(fā)現(xiàn)h(x)在x=0處的左導(dǎo)數(shù)大于(g(x)+1)/x(當(dāng)x趨向0)這個(gè)值是無(wú)窮大(注意這里要用到h(x)<g(x) 且 h(0)>-1和x<0)，所以h(x)在x=0處左導(dǎo)數(shù)不存在，從而在x=0處不可導(dǎo)，當(dāng)然也不可能光滑。證明思路如此打公式太麻煩 ，如有疑問(wèn)可再聯(lián)系我 。 |
4樓2015-09-09 15:32:05
peterflyer 
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5樓2015-09-09 15:43:47
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