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一點一滴小事

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[交流] 橢圓外一定點到已知橢圓的最短距離已有10人參與

已知橢圓方程3*x*x+4*y*y=12;橢圓外一定點p（1,1）；求p點到橢圓上的最短距離n與最遠距離s，并求出對應橢圓上點的坐標。
以下是通過lingo軟件優(yōu)化得出的近似最遠距離的平方max，我想問如何通過計算得出該問題的準確值？求大神指點！

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【求助】求橢圓球體的表面積已經(jīng)有6人回復

1樓 2015-01-01 16:25:25

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構造拉格朗日函數(shù)L(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2+λ(3*x^2+4*y^2-12)。
利用二元函數(shù)求極值的方法，即可求得最遠與最近距離，以及相應的點坐標。

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PreferenceforMathematics

2樓2015-01-01 16:35:23

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為了ta

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以已知定點為圓的圓心，設圓的解析式為（x-x。）∧2+（y-y。）∧2=R∧2，聯(lián)立橢圓與圓的方程，化簡得到一元二次方程，另b∧2-4ac=0,求解會得到兩個R值，一個是點到橢圓距離最小值，一個是最大值，解題思想是把點當成圓慢慢放大，當圓第一次與有公共點時是點到橢圓最小距離，最后離開公共點時，時點到橢圓最大值，還好我高中圓錐曲線知識還沒忘，希望能幫到你！

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9樓2015-01-02 15:04:18

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cooooldog

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假設橢圓參數(shù)方程用
$\begin{align}\left\{\begin{array}{rll}x=&2\cos \theta\\y=&\sqrt{3}\sin\theta\end{array}\right.\end{align}$
則距離的平方:
$d^2=\left(1-\sqrt{3} \sin\theta\right)^2+(1-2 \cos \theta)^2$
從而可以得到距離最大和最小時候 $\theta$ 的解析解

$\begin{align} \theta_{\text{max}}=& 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{9+\sqrt{6 \left(16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}\right)}-\sqrt{6 \left(32-\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}+52 \sqrt{\frac{6}{16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}}}\right)}}}}\right)\\ \theta_{\text{min}}=& 2 \left(\pi -\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{9+\sqrt{6 \left(16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}\right)}+\sqrt{6 \left(32-\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}+52 \sqrt{\frac{6}{16+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}}}\right)}}}}\right)\right)\\ \end{align}$
分別代入可以得到最大最小距離;
居然有解析解,只不過麻煩一點

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

16樓2015-01-02 19:32:31

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cooooldog

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精確的解析解無法用初等函數(shù)的形式得到;

如果用參數(shù)形式表示橢圓,
(x=2 cos(t), y=sqrt(3) sin(t) )
得到最小距離時候的距離大概是0.18643173255102682
最大距離大概是:10.947605100330506
對應的t則需要解一元8次多項式
f(x)=3 - 4 x^2 - 30 x^4 - 36 x^6 + 3 x^8
(這種問題已經(jīng)不存在初等形式的解析解)

該多項式方程的其中兩個實數(shù)解的反正切 (2倍,或加上Pi)是對應的 t
初等函數(shù)形式的符號解或解析解不能得到;
但精確到任意精度的解可以用符號計算軟件得到;

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

3樓2015-01-01 17:52:18

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wurongjun

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按照2樓的辦法可以得到你想要的結果!
注你給的點在橢圓內(nèi)部!

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善惡到頭終有報,人間正道是滄桑.

4樓2015-01-01 18:53:28

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3樓: Originally posted by cooooldog at 2015-01-01 17:52:18
精確的解析解無法用初等函數(shù)的形式得到;

如果用參數(shù)形式表示橢圓,
(x=2 cos(t), y=sqrt(3) sin(t) )
得到最小距離時候的距離大概是0.18643173255102682
最大距離大概是:10.947605100330506
對應的t則需要解 ...

謝謝，大家新年快樂

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5樓2015-01-02 00:57:55

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qiw123

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怎么感覺類似的問題在高中的數(shù)學里做過呢？

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6樓2015-01-02 02:35:28

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人民海軍

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高數(shù)老師要哭了

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Letbygonesbebygones.

7樓2015-01-02 07:00:27

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7樓: Originally posted by 人民海軍 at 2015-01-02 07:00:27
高數(shù)老師要哭了

為什么現(xiàn)在的符號計算能夠算出這個問題的準確值（如二樓所述），據(jù)我所知計算機的計算精度取決于其字長，字長一定精度一定，如果結果是一個無理數(shù)那不就沒發(fā)得出準確值了？是軟件算法導致能出準確值的？若是那這個算法又是怎樣實現(xiàn)的? 謝謝

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8樓2015-01-02 14:50:17

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8樓: Originally posted by 一點一滴小事 at 2015-01-02 14:50:17
為什么現(xiàn)在的符號計算能夠算出這個問題的準確值（如二樓所述），據(jù)我所知計算機的計算精度取決于其字長，字長一定精度一定，如果結果是一個無理數(shù)那不就沒發(fā)得出準確值了？是軟件算法導致能出準確值的？若是那這個 ...

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10樓2015-01-02 15:49:26

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