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求次數(shù)最小的整系數(shù)多項式f(x)，使得 $\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}$ 是f(x)的一個根。

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1樓 2015-02-14 06:26:23

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蘇沉e

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Edstrayer

2樓2015-02-16 17:02:39

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Pchief

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代數(shù)的東西鄙人講不出多少道理，但所求的多項式應該是把所有形如

$x-(-1)^i\sqrt{3}-\omega^j\sqrt[3]{5}\quad i=0,1;\ j=0,1,2$

的一次式（共6個）乘起來的結(jié)果。

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3樓2015-02-17 01:50:18

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3樓: Originally posted by Pchief at 2015-02-17 01:50:18
代數(shù)的東西鄙人講不出多少道理，但所求的多項式應該是把所有形如

x-(-1)^i\sqrt{3}-\omega^j\sqrt{5}\quad i=0,1;\ j=0,1,2

的一次式（共6個）乘起來的結(jié)果。

忘了說 $\omega$ 是三次本原單位根

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4樓2015-02-17 01:53:00

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2樓: Originally posted by 蘇沉e at 2015-02-16 17:02:39
6次多項式：

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這個解答是正確的。沒錯。

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5樓2015-02-17 02:42:35

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這樣乘出來的多項式不是整系數(shù)啊？

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6樓2015-02-17 02:48:07

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6樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-02-17 02:48:07
這樣乘出來的多項式不是整系數(shù)��？...

先固定 $i$ ，讓 $j$ 變化，乘得的兩個式子應該是

$(x+\sqrt{3})^3-5$
$(x-\sqrt{3})^3-5$

這兩個式子再乘就是整系數(shù)多項式了。

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7樓2015-02-17 12:01:29

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7樓: Originally posted by Pchief at 2015-02-17 12:01:29
先固定 i，讓 j 變化，乘得的兩個式子應該是

(x+\sqrt{3})^3-5
(x-\sqrt{3})^3-5

這兩個式子再乘就是整系數(shù)多項式了。...

那這樣得到的多項式就是2樓給出的：

$x^6-9x^4-10x^3+27x^2-90x-2$

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8樓2015-02-17 15:23:32

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8樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-02-17 15:23:32
那這樣得到的多項式就是2樓給出的：
x^6-9x^4-10x^3+27x^2-90x-2...

對啊。我說的僅僅是一點粗淺的經(jīng)驗而已。

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9樓2015-02-17 15:58:38

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