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[求助]
求助二階偏微分方程求解 已有2人參與
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萬能的蟲蟲們，求助這道題咋求解，本人非數(shù)學(xué)專業(yè)，望能解釋的稍微詳細(xì)一些，謝謝！ IMG_1222.JPG |
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【答案】應(yīng)助回帖
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若使用分離變量法求解： 先令T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x 代入原方程得到： PF(x,t)/Pt=P^2F(x,t)/Px^2 F(0,t)=0 ,F(L,t)=0; F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x 令F(x,t)=X(x)*T(t) ,代入方程中得到： X(x)*dT(t)/dt=T(t)*d^2X(x)/dx^2 整理后：1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2 由于等式左邊為t的函數(shù)，右邊為x的函數(shù)，它們?nèi)粝氲缺厝恢挥幸环N情況，就是都為一常數(shù)C。即： 1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2≡C 由：1/T(t)*dT(t)/dt=C 得到： dT(t)/dt-C*T(t)=0 T(t)=D*e^(C*t) 由于t≥0，并且當(dāng)t-->∞時(shí)定解問題應(yīng)該有界，即e^(C*t)<∞,因此C<0,故而可記為C=-α^2,此處α為正實(shí)數(shù)。 因此T(t)=D*e^(-α^2*t) 因此，對(duì)于X(x),有： d^2X(x)/dx^2+α^2*X(x)=0 X(x)=A*Cos(α*x)+B*Sin(α*x) 由邊界條件，再加上T(t)≠0得到: X(0)=0 , X(L)=0 由此得到A=0,B*Sin(α*L)=0 由于B不能為零，否則只有零解，不符合實(shí)際了，故而只能有Sin(α*L)=0 即α*L=k*π ,k=0,±1,±2,±3,±4,......。 即 α=k*π/L 因此：Fk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)=Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin[k*π/L*x] 故：F(x,t)=SUM{Fk(x,t),k=-∞~∞} =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~∞} =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~0} + +SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞} =SUM{Jk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞} 由F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x得到： 1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x=SUM{Jk*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞} 這是一個(gè)傅立葉正弦級(jí)數(shù)展開的問題，由此由傅立葉正弦級(jí)數(shù)系數(shù)公式可求得Jk,從而得到F(x,t)的表達(dá)式，再代入T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x 而得到定解問題的最終解答。 βγ |
10樓2015-03-30 11:21:43
P.F.Yin
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ldlckp: 金幣+30, ★★★★★最佳答案, 十分感謝！ 2015-03-30 11:20:39
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用拉氏變換法求解：設(shè)U為T關(guān)于時(shí)間t的拉氏變換，對(duì)原定解問題全部進(jìn)行拉式變換后得到： s*U-(x-x^2)=d^2U/dx^2+2*x/s 即：d^2U/dx^2-s*U=x^2-(1+2/s)*x (1) 故：U(x,s)=A*e^[sqrt(s)*x]+B*e^[-sqrt(s)*x]-1/s*x^2+(1/s+2/s^2)*x-2/s^2 (2) 對(duì)原來的邊界條件也進(jìn)行變換后得到： U(0,s)=U(L,s)=0 (3) (3)代入（2），得到： A+B=2/s^2 A*e^[sqrt(s)*L]+B*e^[-sqrt(s)*L]=1/s*L^2-(1/s+2/s^2)*L+2/s^2 求解上面的二元一次方程組得到：A=；B= 代回(2)得到具體的U(x,s)，再對(duì)它求拉氏反變換即得T(x,t)。 這個(gè)拉氏反變換式子有些復(fù)雜，若找不到現(xiàn)成的公式，就只有根據(jù)原始定義進(jìn)行復(fù)變函數(shù)的積分了。 |
5樓2015-03-30 09:57:32
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6樓2015-03-30 10:17:12
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