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[求助] 求助如何計(jì)算一個(gè)定積分已有2人參與

求以下定積分的閉合表達(dá)式，其中a﹥0,b﹥0.
$\int_0^1\frac{1}{(ax^4+b)^2}dx$

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2015-05-12 20:34:08, 10.76 K

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1樓 2015-05-12 20:39:55

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wurongjun

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zhaoliang270: 金幣+15, ★★★很有幫助, 很有幫助 2015-05-13 19:52:18

用MATLAB算一下!
>> syms a b x
>> int(1/(a*x^4+b)^2,x,0,1)
ans =
1/32*(8*b+3*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*log(-(1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)+(b/a)^(1/2))/(-(b/a)^(1/2)-1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)))*a+3*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*log(-(1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)+(b/a)^(1/2))/(-(b/a)^(1/2)-1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)))*b+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)+(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*a+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)+(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*b+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)-(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*a+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)-(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*b)/b^2/(a+b)
>>

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善惡到頭終有報(bào),人間正道是滄桑.

2樓2015-05-12 23:11:03

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hank612

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zhaoliang270(feixiaolin代發(fā)): 金幣+5 2015-05-14 23:16:12

引用回帖:

2樓: Originally posted by wurongjun at 2015-05-12 23:11:03
用MATLAB算一下!
>> syms a b x
>> int(1/(a*x^4+b)^2,x,0,1)
ans =
1/32*(8*b+3*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*log(-(1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)+(b/a)^(1/2))/(-(b/a)^(1/2)-1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)))*a+3*(b/a ...

Wurongjun專家已經(jīng)有清晰完備的解答, 我來畫蛇添足一下.
如果讓 $c^4=\frac{a}$ , 那么原來定積分等于 (y=cx)
$\frac{1}{cb^2}\int_{0}^{c}\frac{dy}{(y^4+1)^2}$ .

這個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)見圖, 你也可以直接驗(yàn)證某個(gè)函數(shù)求導(dǎo)等于被積式.

integral.png

derivative.png

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3樓2015-05-13 01:26:16

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dapinmin

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是不是可以嘗試用數(shù)學(xué)手冊的積分表來查找？

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4樓2015-05-13 02:56:34

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Edstrayer

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有理函數(shù)的積分，化成部分分式計(jì)算

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

5樓2015-05-13 03:25:21

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peterflyer

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zhaoliang270: 金幣+5 2015-05-14 08:24:46

我提個(gè)最笨的但也最容易理解的解題想法，也不知對不對。就是先令a*x^4+b=0，解出四個(gè)根x1、x2、x3、x4。再用待定系數(shù)法將被積分式分解為數(shù)個(gè)形如p/(x-q)^2和p/(x-q)的形式的和并求出各個(gè)p和q的值（共各有四個(gè)不同的p和q，p、q均為復(fù)數(shù)）。由于各個(gè)復(fù)數(shù)是成對共軛的，最后經(jīng)過復(fù)變函數(shù)計(jì)算的處理，就能夠得到實(shí)數(shù)形式的函數(shù)。然后即可求出原被積函數(shù)的不定積分來，最后再代入積分上下限即可求得定積分的值。

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6樓2015-05-13 20:55:55

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6樓: Originally posted by peterflyer at 2015-05-13 20:55:55
我提個(gè)最笨的但也最容易理解的解題想法，也不知對不對。就是先令a*x^4+b=0，解出四個(gè)根x1、x2、x3、x4。再用待定系數(shù)法將被積分式分解為數(shù)個(gè)形如p/(x-q)^2和p/(x-q)的形式的和并求出各個(gè)p和q的值（共各有四個(gè)不同的 ...

這個(gè)方法具有普適性,關(guān)鍵是怎么將復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)形式的函數(shù).

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7樓2015-05-14 08:24:18

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3樓: Originally posted by hank612 at 2015-05-13 01:26:16
Wurongjun專家已經(jīng)有清晰完備的解答, 我來畫蛇添足一下.
如果讓c^4=\frac{a}, 那么原來定積分等于 (y=cx)
\frac{1}{cb^2}\int_{0}^{c}\frac{dy}{(y^4+1)^2}.

這個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)見圖, 你也可以直接驗(yàn)證 ...

親，能告知用的是什么軟件嗎？

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8樓2015-05-15 17:46:49

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9樓2015-05-15 23:17:27

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