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笨小孩aq新蟲(chóng) (小有名氣)
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[求助]
關(guān)于微分方程的 已有4人參與
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求下列方程的解析解，求指導(dǎo)，謝謝！ `5QLZ3}6R44J]0CB{5__[IM.jpg |
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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設(shè)對(duì)H關(guān)于時(shí)間t的拉氏變換為U(x,p)，則對(duì)方程兩邊求拉氏變換： T*d^2U/dx^2=S*[p*U-0] d^2U/dx^2-S*p/T*U=0 U=A(p)*e^[sqrt(S*p/T)*x]+B(p)*e^[-sqrt(S*p/T)*x] 再對(duì)邊界條件取拉氏變換得到： U(0,p)=100/p,U(L=2000,p)=50/p 代入上式，求出: A(p)={50/p-100/p*e^[-sqrt(S*p/T)*L]}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}； B(p)={100/p*e^[sqrt(S*p/T)*L]-50/p}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}。 代入原式即可得到U(x,p),再對(duì)其求拉氏逆變換，就可得到H(x,t)。 |
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笨小孩aq9樓2014-05-08 13:12:50
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其實(shí)分離變量法和拉氏變換法是想通的。我們查一般的拉氏變換表格就可查到e^[-a*sqrt(p)]/p的反變換為erfc{a/[2*sqrt(t)]};而上面的U的表達(dá)式中若將1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}進(jìn)行如下處理后再按泰勒展開(kāi)式展開(kāi)，就可變換為e^[-a*sqrt(p)]/p的形式： 1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*1/{1-e^[-2*a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*{1+e^[-2*a*sqrt(p)]+e^[-4*a*sqrt(p)]+e^[-6*a*sqrt(p)]+......} =e^[-a*sqrt(p)]+e^[-3*a*sqrt(p)]+e^[-5*a*sqrt(p)]+e^[-7*a*sqrt(p)]+...... 將上式代入U(xiǎn)(x,s)的表達(dá)式中就能將所有的表達(dá)式湊成e^[-m*sqrt(p)]/p的形式，從而獲得解答H(x,t)。其中的m為由常數(shù)和x組成的函數(shù)表達(dá)式。 |
17樓2014-05-08 21:54:26
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【答案】應(yīng)助回帖
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笨小孩aq: 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 謝謝幫助！就是這里不明白，感謝！ 2014-05-08 16:39:01
笨小孩aq: 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 謝謝幫助！就是這里不明白，感謝！ 2014-05-08 16:39:01
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邊界齊次化就可以 就是令H=Y+【H(2000,t)-H(0,t)】/【2000-0】*x+H(0,t); 這樣Y滿(mǎn)足 Y(0,t)=0,Y(2000,t)=0; 和主方程 |
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10樓2014-05-08 15:22:21
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