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笨小孩aq

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求下列方程的解析解，求指導(dǎo)，謝謝！

`5QLZ3}6R44J]0CB{5__[IM.jpg

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1樓 2014-05-08 11:11:02

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

設(shè)對(duì)H關(guān)于時(shí)間t的拉氏變換為U(x,p)，則對(duì)方程兩邊求拉氏變換：
T*d^2U/dx^2=S*[p*U-0]
d^2U/dx^2-S*p/T*U=0
U=A(p)*e^[sqrt(S*p/T)*x]+B(p)*e^[-sqrt(S*p/T)*x]
再對(duì)邊界條件取拉氏變換得到：
U(0,p)=100/p,U(L=2000,p)=50/p
代入上式，求出:
A(p)={50/p-100/p*e^[-sqrt(S*p/T)*L]}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}；
B(p)={100/p*e^[sqrt(S*p/T)*L]-50/p}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}。
代入原式即可得到U(x,p),再對(duì)其求拉氏逆變換，就可得到H(x,t)。

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笨小孩aq

9樓2014-05-08 13:12:50

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引用回帖:

15樓: Originally posted by 笨小孩aq at 2014-05-08 16:30:39
我不會(huì)拉普拉斯逆變換，還是用的變量分離法，謝謝...

其實(shí)分離變量法和拉氏變換法是想通的。我們查一般的拉氏變換表格就可查到e^[-a*sqrt(p)]/p的反變換為erfc{a/[2*sqrt(t)]};而上面的U的表達(dá)式中若將1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}進(jìn)行如下處理后再按泰勒展開(kāi)式展開(kāi)，就可變換為e^[-a*sqrt(p)]/p的形式：
1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*1/{1-e^[-2*a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*{1+e^[-2*a*sqrt(p)]+e^[-4*a*sqrt(p)]+e^[-6*a*sqrt(p)]+......}
=e^[-a*sqrt(p)]+e^[-3*a*sqrt(p)]+e^[-5*a*sqrt(p)]+e^[-7*a*sqrt(p)]+......
將上式代入U(xiǎn)(x,s)的表達(dá)式中就能將所有的表達(dá)式湊成e^[-m*sqrt(p)]/p的形式，從而獲得解答H(x,t)。其中的m為由常數(shù)和x組成的函數(shù)表達(dá)式。

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17樓2014-05-08 21:54:26

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

該方程為偏微分方程，用分離變量法解決：
設(shè)
把（1）式帶入方程，可得：
令       上式可化為：
原偏微分方程可化為：
只有當(dāng)時(shí)，（2）、（3）式才有非零解，即：

把邊界條件帶入（4）式，可得：

式的通解為：

所以：

把初始條件帶入（6）式，可得：

把（5）、（7）聯(lián)立，即可解得。

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2樓2014-05-08 11:59:44

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【答案】應(yīng)助回帖

不好意思，不知為什，WPS的公式粘貼不上

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3樓2014-05-08 12:02:19

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那這個(gè)題中邊界條件不為零，是不是就沒(méi)有解�。炕靥梢园l(fā)圖片嗎？WPS的公式粘貼不上
，可以截屏發(fā)圖片試試，謝謝你！

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4樓2014-05-08 12:26:51

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

數(shù)理方程中最基本的分離變量就可以解決；最終解為e^at sin(bx)的形式

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5樓2014-05-08 12:29:01

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3樓: Originally posted by elastic at 2014-05-08 12:02:19
不好意思，不知為什，WPS的公式粘貼不上

那這個(gè)題中邊界條件不為零，是不是就沒(méi)有解�。炕靥梢园l(fā)圖片嗎？WPS的公式粘貼不上
，可以截屏發(fā)圖片試試，謝謝你！

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6樓2014-05-08 12:41:19

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2樓: Originally posted by elastic at 2014-05-08 11:59:44
該方程為偏微分方程，用分離變量法解決：
設(shè)
把（1）式帶入方程，可得：
令       上式可化為：
原偏微分方程可化為：
只有當(dāng)時(shí)，（2）、（3）式才有非零解，即：

把邊界條 ...

由邊界條件可以得到關(guān)于X（x）的初始條件是什么？

111111111111111.jpg

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7樓2014-05-08 12:56:53

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5樓: Originally posted by mathstudy at 2014-05-08 12:29:01
數(shù)理方程中最基本的分離變量就可以解決；最終解為e^at sin(bx)的形式

謝謝，但是我不清楚怎么做，不知道這個(gè)題的邊界條件怎么用

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8樓2014-05-08 13:07:19

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
笨小孩aq: 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 謝謝幫助！就是這里不明白，感謝！ 2014-05-08 16:39:01

邊界齊次化就可以就是令H=Y+【H(2000,t)-H(0,t)】/【2000-0】*x+H(0,t); 這樣Y滿(mǎn)足 Y(0,t)=0,Y(2000,t)=0; 和主方程 $\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=S\frac{\partial Y}{\partial t}$ 初始條件為Y(x,0)=0-【50-100】/【2000-0】*x-100; 關(guān)于Y 的求解就是分離變量了；進(jìn)而求得H

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10樓2014-05-08 15:22:21

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