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sing00

鐵桿木蟲 (職業(yè)作家)

應助: 8 (幼兒園)
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蟲號: 407354
注冊: 2007-06-20
專業(yè): 信息安全

[求助] 求助一道極限題

設 $q>1$ ，求極限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\prod\limits^{n}_{i=1}(1-\frac{1}{q^i})$

能求個 $\prod\limits^{n}_{i=1}(1-\frac{1}{q^i})$ 值的下限也行（要與 $n$ 無關）

求高人相助，謝謝！

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1樓 2015-02-23 21:56:47

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

數(shù)學EPI: 14
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專業(yè): 理論和計算化學

【答案】應助回帖

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sing00(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2015-02-24 14:59:50
feixiaolin: 數(shù)學EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=8740247&fpage=1 2015-04-01 19:11:34

http://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol
可以給出精確值. 比如, q=2時, 見附圖.

如果只要求下界, 注意到當0<x<0.7968時, 有不等式 ln(1-x)> -2x,
http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

所以設k為最小的自然數(shù)使得 $q^k \geq \frac{1}{0.7968} > 1.255$ , 那么無限連乘就
$\geq (1-\frac{1}{q})^{k-1}\cdot e^{-2\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{q^k}}=(1-\frac{1}{q})^{k-1}e^{\frac{-2}{q^{k-1}(q-1)}}$

比如, q=2時, 精確值約為 0.2887, 這個下界為e^(-2)=0.1353.

q-Pochhammer.png

Lambert W function.png

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We_must_know. We_will_know.

2樓2015-02-24 07:04:24