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seu_adonis新蟲 (初入文壇)
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[求助]
求助，比較線性方程解空間的大小
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令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, 其中a>0,b>0，亦即N維向量x限制在超立方體內(nèi)，Ω1，Ω2，Ω3分別表示在超立方體中位于三個(gè)不同的超平面上面的那部分空間， 證明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空間Ω的大小。 |
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5樓2013-08-06 14:13:01
weft
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
| 有點(diǎn)意思，我有一個(gè)思路，不妨設(shè)向量（W1，W2，... ，WN）是單位向量，將空間做一個(gè)正交旋轉(zhuǎn)（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）變?yōu)椋?，0，...，1）也就是y_N軸的方向向量。如此一來(lái)將那三個(gè)不等式中左邊W1x1+W2x2+...WNxN這一堆難看的東西就化成了 y_N，于是三個(gè)區(qū)域就分別成為了 y_N > b-a , y_N > -b-a 和 y_N > -a，當(dāng)然這個(gè)時(shí)候相應(yīng)的約束條件|xi|<=1也要改寫成關(guān)于y的約束，而且肯定不像原來(lái)那么好看了，這是可以理解的，在方程上占了便宜肯定要還回去，不可能便宜占盡。但是注意到我們做的是正交變換，所以單位正方體還是變?yōu)榱藛挝徽襟w，也就是說(shuō)并沒(méi)有拉伸和壓縮，沒(méi)有變形，這個(gè)很關(guān)鍵。雖然約束條件變難看了，但這樣做的好處就是三個(gè)區(qū)域的幾何意義一目了然，區(qū)域1代表方體位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，區(qū)域2代表方體位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而區(qū)域3代表方體位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。然后利用正方體的對(duì)稱性，你畫個(gè)圖就發(fā)現(xiàn)不等式成立是顯然的事情了。另外，你還可以發(fā)現(xiàn)如果允許a=0，那么不等式將變成等式。 |
2樓2013-08-06 05:42:33
seu_adonis
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謝謝回復(fù)和幫助。 “區(qū)域1代表方體位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，區(qū)域2代表方體位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而區(qū)域3代表方體位于超平面y_N = -a 上方的那一部分�！� 正交旋轉(zhuǎn)后的確簡(jiǎn)潔了很多，但是高維情況下不方便用圖形來(lái)說(shuō)明這三個(gè)區(qū)域的關(guān)系，其實(shí)也知道y_N = -a兩邊區(qū)域體積對(duì)于常數(shù)值變化的梯度是不一樣的，但就是糾結(jié)怎么用數(shù)學(xué)表達(dá)式證明出來(lái)。 |
3樓2013-08-06 09:30:03
weft
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【答案】應(yīng)助回帖
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不解為什么跟梯度扯上了關(guān)系？ 我不知道你想要一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式的證明。其實(shí)現(xiàn)在可以看到“在y_N = b-a 上方的那一部分”與“y_N = -b-a 上方的那一部分”的體積之和就是整個(gè)立方體的體積，因?yàn)閷?shí)際上二者可以拼接為一個(gè)完整的立方體，所以你只需要證明在y_N = b-a 上方的那一部分恰好就是y_N = -b-a 下方（注意是下方）的那一部分，而這件事情可以利用立方體的對(duì)稱性通過(guò)一個(gè)正交旋轉(zhuǎn)來(lái)證明，也就是證明二者是全等的。 |
4樓2013-08-06 13:33:37
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