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seu_adonis新蟲 (初入文壇)
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[求助]
求助，比較線性方程解空間的大小
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令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, 其中a>0,b>0，亦即N維向量x限制在超立方體內(nèi)，Ω1，Ω2，Ω3分別表示在超立方體中位于三個(gè)不同的超平面上面的那部分空間， 證明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空間Ω的大小。 |
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weft
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| 有點(diǎn)意思，我有一個(gè)思路，不妨設(shè)向量（W1，W2，... ，WN）是單位向量，將空間做一個(gè)正交旋轉(zhuǎn)（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）變?yōu)椋?，0，...，1）也就是y_N軸的方向向量。如此一來將那三個(gè)不等式中左邊W1x1+W2x2+...WNxN這一堆難看的東西就化成了 y_N，于是三個(gè)區(qū)域就分別成為了 y_N > b-a , y_N > -b-a 和 y_N > -a，當(dāng)然這個(gè)時(shí)候相應(yīng)的約束條件|xi|<=1也要改寫成關(guān)于y的約束，而且肯定不像原來那么好看了，這是可以理解的，在方程上占了便宜肯定要還回去，不可能便宜占盡。但是注意到我們做的是正交變換，所以單位正方體還是變?yōu)榱藛挝徽襟w，也就是說并沒有拉伸和壓縮，沒有變形，這個(gè)很關(guān)鍵。雖然約束條件變難看了，但這樣做的好處就是三個(gè)區(qū)域的幾何意義一目了然，區(qū)域1代表方體位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，區(qū)域2代表方體位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而區(qū)域3代表方體位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。然后利用正方體的對(duì)稱性，你畫個(gè)圖就發(fā)現(xiàn)不等式成立是顯然的事情了。另外，你還可以發(fā)現(xiàn)如果允許a=0，那么不等式將變成等式。 |
2樓2013-08-06 05:42:33
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3樓2013-08-06 09:30:03
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【答案】應(yīng)助回帖
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不解為什么跟梯度扯上了關(guān)系？ 我不知道你想要一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式的證明。其實(shí)現(xiàn)在可以看到“在y_N = b-a 上方的那一部分”與“y_N = -b-a 上方的那一部分”的體積之和就是整個(gè)立方體的體積，因?yàn)閷?shí)際上二者可以拼接為一個(gè)完整的立方體，所以你只需要證明在y_N = b-a 上方的那一部分恰好就是y_N = -b-a 下方（注意是下方）的那一部分，而這件事情可以利用立方體的對(duì)稱性通過一個(gè)正交旋轉(zhuǎn)來證明，也就是證明二者是全等的。 |
4樓2013-08-06 13:33:37
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5樓2013-08-06 14:13:01
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樓主和Weft的討論從幾何, 梯度方向討論的很深刻了,我從表達(dá)式方面畫蛇添足一下. 首先, 符號(hào)說明. w=(w1, w2,..., wN) 是個(gè)固定向量 (不需要假設(shè)分量wi>0). 超立方體{(x1,...,xN) | |xi|<=1} 記為C, 記向量?jī)?nèi)積為w. x . 那么Ω1 ={ x in C| w.x > b-a}, 另外兩個(gè)分別為w.x > -b-a 和 w.x > -a. 顯然Ω1 包含于Ω3包含于Ω2中. 另外, 記P(k) ={ y in C| w.y =k}. 那么 P(b-a) 平面夾在 P(-b-a) 和 P(b+a)之間. 我們先來看一個(gè)引理: 引理: P(b-a) 的面積 大于等于 P(-b-a)=P(b+a), 對(duì)于任意使得P(a+b)>0的a>0, b>0. 證明: 只不過重復(fù)樓主關(guān)于梯度的思路,只是表達(dá)方式不同. 不妨設(shè)P(b-a), P(b+a) 都在P(0) 的同一側(cè), 即 (b>a). 顯然P(b+a)是凸形, 任意取一個(gè)極值點(diǎn)y0 (Extreme point). 則兩個(gè)集合{ 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b)} 和{ 1/2 * (y0 -y) : y \in P(a+b) } 只相交于原點(diǎn), 也就是y=y0的時(shí)候. 同時(shí), 這兩個(gè)集合都還在C內(nèi),因?yàn)镃是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的凸集. 那么, 我們看出如下兩個(gè)集合 (加權(quán)平均得到) { (b-a)/(b+a)*y + 2a/(b+a)* 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b) } 和{ (b-a)/(b+a)*y0 + 2a/(b+a)* 1/2 * (y0-y) : y \in P(a+b) } 是 (1) 只相交于一點(diǎn); (2) 在C內(nèi); (3)屬于P(b-a). 由于這兩個(gè)P(b-a)的子集都只是P(a+b)的線性變換, 面積也是乘以一個(gè)線性因子,所以 P(b-a) >= b/(b+a)* P(a+b) + a/(b+a)* P(a+b) = P(a+b). 引理得證. 現(xiàn)在回到原題. 要證明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，只需要證明 | Ω3 - Ω1| > | Ω2 - Ω3| 即可. |Ω|(表示空間Ω的大小)可以由積分給出, 其中, 積分元為w方向的一維直線dx, 從零到b, 積分函數(shù)分別為P(x-a) (對(duì)于Ω3 - Ω1) 和P(-x-a)(對(duì)于Ω2 - Ω3)的面積. 引理告訴我們P(-x-a) <= P(x-a), 那自然積分就| Ω2 - Ω3|<=| Ω3 - Ω1| 了. 還有, 我很抱歉,只能證明 小于等于, 還不是樓主要求的嚴(yán)格小于號(hào). |
6樓2013-08-08 01:23:35
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7樓2013-08-08 09:52:34
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