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[求助]
求助，比較線性方程解空間的大小
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令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, 其中a>0,b>0，亦即N維向量x限制在超立方體內(nèi)，Ω1，Ω2，Ω3分別表示在超立方體中位于三個不同的超平面上面的那部分空間， 證明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空間Ω的大小。 |
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7樓2013-08-08 09:52:34
weft
木蟲 (正式寫手)
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
| 有點意思，我有一個思路，不妨設(shè)向量（W1，W2，... ，WN）是單位向量，將空間做一個正交旋轉(zhuǎn)（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）變?yōu)椋?，0，...，1）也就是y_N軸的方向向量。如此一來將那三個不等式中左邊W1x1+W2x2+...WNxN這一堆難看的東西就化成了 y_N，于是三個區(qū)域就分別成為了 y_N > b-a , y_N > -b-a 和 y_N > -a，當(dāng)然這個時候相應(yīng)的約束條件|xi|<=1也要改寫成關(guān)于y的約束，而且肯定不像原來那么好看了，這是可以理解的，在方程上占了便宜肯定要還回去，不可能便宜占盡。但是注意到我們做的是正交變換，所以單位正方體還是變?yōu)榱藛挝徽襟w，也就是說并沒有拉伸和壓縮，沒有變形，這個很關(guān)鍵。雖然約束條件變難看了，但這樣做的好處就是三個區(qū)域的幾何意義一目了然，區(qū)域1代表方體位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，區(qū)域2代表方體位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而區(qū)域3代表方體位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。然后利用正方體的對稱性，你畫個圖就發(fā)現(xiàn)不等式成立是顯然的事情了。另外，你還可以發(fā)現(xiàn)如果允許a=0，那么不等式將變成等式。 |
2樓2013-08-06 05:42:33
3樓2013-08-06 09:30:03
weft
木蟲 (正式寫手)
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4樓2013-08-06 13:33:37
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