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[求助]
求助，比較線性方程解空間的大小
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令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, 其中a>0,b>0，亦即N維向量x限制在超立方體內，Ω1，Ω2，Ω3分別表示在超立方體中位于三個不同的超平面上面的那部分空間， 證明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空間Ω的大小。 |
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weft
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【答案】應助回帖
感謝參與，應助指數(shù) +1
| 有點意思，我有一個思路，不妨設向量（W1，W2，... ，WN）是單位向量，將空間做一個正交旋轉（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）變?yōu)椋?，0，...，1）也就是y_N軸的方向向量。如此一來將那三個不等式中左邊W1x1+W2x2+...WNxN這一堆難看的東西就化成了 y_N，于是三個區(qū)域就分別成為了 y_N > b-a , y_N > -b-a 和 y_N > -a，當然這個時候相應的約束條件|xi|<=1也要改寫成關于y的約束，而且肯定不像原來那么好看了，這是可以理解的，在方程上占了便宜肯定要還回去，不可能便宜占盡。但是注意到我們做的是正交變換，所以單位正方體還是變?yōu)榱藛挝徽襟w，也就是說并沒有拉伸和壓縮，沒有變形，這個很關鍵。雖然約束條件變難看了，但這樣做的好處就是三個區(qū)域的幾何意義一目了然，區(qū)域1代表方體位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，區(qū)域2代表方體位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而區(qū)域3代表方體位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。然后利用正方體的對稱性，你畫個圖就發(fā)現(xiàn)不等式成立是顯然的事情了。另外，你還可以發(fā)現(xiàn)如果允許a=0，那么不等式將變成等式。 |
2樓2013-08-06 05:42:33
3樓2013-08-06 09:30:03
weft
木蟲 (正式寫手)
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4樓2013-08-06 13:33:37
5樓2013-08-06 14:13:01
hank612
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【答案】應助回帖
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感謝參與，應助指數(shù) +1
seu_adonis: 金幣+18, ★★★很有幫助 2013-08-08 09:51:05
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seu_adonis: 金幣+18, ★★★很有幫助 2013-08-08 09:51:05
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樓主和Weft的討論從幾何, 梯度方向討論的很深刻了,我從表達式方面畫蛇添足一下. 首先, 符號說明. w=(w1, w2,..., wN) 是個固定向量 (不需要假設分量wi>0). 超立方體{(x1,...,xN) | |xi|<=1} 記為C, 記向量內積為w. x . 那么Ω1 ={ x in C| w.x > b-a}, 另外兩個分別為w.x > -b-a 和 w.x > -a. 顯然Ω1 包含于Ω3包含于Ω2中. 另外, 記P(k) ={ y in C| w.y =k}. 那么 P(b-a) 平面夾在 P(-b-a) 和 P(b+a)之間. 我們先來看一個引理: 引理: P(b-a) 的面積 大于等于 P(-b-a)=P(b+a), 對于任意使得P(a+b)>0的a>0, b>0. 證明: 只不過重復樓主關于梯度的思路,只是表達方式不同. 不妨設P(b-a), P(b+a) 都在P(0) 的同一側, 即 (b>a). 顯然P(b+a)是凸形, 任意取一個極值點y0 (Extreme point). 則兩個集合{ 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b)} 和{ 1/2 * (y0 -y) : y \in P(a+b) } 只相交于原點, 也就是y=y0的時候. 同時, 這兩個集合都還在C內,因為C是關于原點中心對稱的凸集. 那么, 我們看出如下兩個集合 (加權平均得到) { (b-a)/(b+a)*y + 2a/(b+a)* 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b) } 和{ (b-a)/(b+a)*y0 + 2a/(b+a)* 1/2 * (y0-y) : y \in P(a+b) } 是 (1) 只相交于一點; (2) 在C內; (3)屬于P(b-a). 由于這兩個P(b-a)的子集都只是P(a+b)的線性變換, 面積也是乘以一個線性因子,所以 P(b-a) >= b/(b+a)* P(a+b) + a/(b+a)* P(a+b) = P(a+b). 引理得證. 現(xiàn)在回到原題. 要證明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，只需要證明 | Ω3 - Ω1| > | Ω2 - Ω3| 即可. |Ω|(表示空間Ω的大小)可以由積分給出, 其中, 積分元為w方向的一維直線dx, 從零到b, 積分函數(shù)分別為P(x-a) (對于Ω3 - Ω1) 和P(-x-a)(對于Ω2 - Ω3)的面積. 引理告訴我們P(-x-a) <= P(x-a), 那自然積分就| Ω2 - Ω3|<=| Ω3 - Ω1| 了. 還有, 我很抱歉,只能證明 小于等于, 還不是樓主要求的嚴格小于號. |
6樓2013-08-08 01:23:35
7樓2013-08-08 09:52:34
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